§ 3. Arithmetische Reihen beliebiger Ordnung. 
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Von der Richtigkeit der Werte für d 0 ^\ d£ v \ . . . überzeugt man 
sich leicht durch den Schluß von v auf v + 1 unter Benutzung der 
Formel (§ IC, Ib, S. 185): 
Wenn die Glieder einer der gebildeten Differenzenreihen, etwa 
der p ten , sämtlich denselben Wert haben, so nennt man die ge 
gebene Zahlenfolge a 0 , a lf a 2 , « 3 , n 4 , a- 0 , . . . eine „arithmetische 
Reihe p teT Ordnung“. Die von uns Kap. I, § 5 E, Zusatz, S. 22 kurz 
„arithmetische Reihe“ genannte Zahlenfolge ist nach der soeben ge 
gebenen Definition eine arithmetische Reihe erster Ordnung. Die 
erste Diiferenzenreihe einer arithmetischen Reihe p teT Ordnung ist eine 
arithmetische Reihe (p — l) ter Ordnung, die zweite eine arithmetische 
Reihe (p — 2) ter Ordnung usw., endlich die (p — l) te Diiferenzenreihe 
eine arithmetische Reihe erster Ordnung. 
Wenn die (p + 1) ersten Glieder a 0 , a x , a 2 ,...,a willkürlich 
gegeben sind, kann man es durch passende Bestimmung von a +1 , 
« J) + 2 , . . . erreichen, daß die sämtlichen a eine arithmetische Reihe 
p tor Ordnung bilden. Durch n 0 , a Xy a 2 , ..., a p ist nämlich (nach I) 
dbestimmt. Wir brauchen dann a p + i nur so zu wählen, daß 
d^O = d^ p \ <x j0+2 so, daß d^ = d 0 ^ p \ usw. 
Statt durch ihre ersten (p + 1) Glieder kann man eine arith 
metische Reihe p ter Ordnung aber auch durch ihr Anfangsglied 
a 0 und die Anfangsglieder ihrer p ersten Differenzenreihen, 
d 0 ^\ . . ., d ( J p \ charakterisieren. Um zu zeigen, daß durch diese Zahlen 
jedes Glied der arithmetischen Reihe p' er Ordnung bestimmt ist, bilden 
wir aus d^ p ~ X) und dzunächst die Differenzenreihe (p — l) ter Ord 
nung. Dieselbe lautet: 
d 0 (p-1) , fV p_1) = ^o (p_1) + d^\ ^- 1 )=^- 1 )+2^),..., 
und die Summe ihrer ersten n Glieder beträgt: 
5^-1)= ndJp-Vj. (1 + 2-1 + (n — X))d 0 W 
- ndjr-v + (“) d„«■) 
(vgl. Kap. I, § 5 E, Zusatz, S. 22). 
Weiter ergibt sich für das n te Glied der Differenzenreihe {p — 2) ter 
Ordnung: