§ 3. Arithmetische Reihen beliebiger Ordnung. 
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Der für d ( f~ l r ~ 1 '> gefundene Wert hat genau dieselbe Form wie 
der für c№~jO angenommene, nur daß statt r überall r -f- 1 steht. 
Da die Formel für r = 1 und r = 2 als richtig bewiesen ist, gilt 
sie auch für alle größeren ganzzahligen Werte von r. Insbesondere 
ist also auch das n t0 Glied der ursprünglichen Reihe ([r=p): 
№ (- ej - «.+(“r 1 ) «*r+(V) < ) +-+(V) 
und die Summe ihrer n ersten Glieder: 
(III) - (l) «. + ( 2 ) d o m + ( 8 ) <' + • • • + (p 71) ^ • 1) 
Die Gleichungen (II) und (III) drücken das n te Glied und die 
Summe der n ersten Glieder einer arithmetischen Reihe ^) ter Ord 
nung durch ihr Anfangsglied und die Anfangsglieder ihrer p ersten 
Differenzenreihen aus. 
Anmerkung: Die Zahlen s 1} s 2 , s 8 , s 4 ,... bilden eine arithmetische 
Reihe (p -f- l) ter Ordnung; denn die Differenzen s 2 — s 1 = a 1} s 3 — s 2 = a 2r 
s 4 — s 3 = a 3 , . . . stellen eine arithmetische Reihe p tei Ordnung dar. 
Lelirsatz 2 ): Wenn man in eine ganze rationale Funktion 
p ten Grades von x 
f(x) = CqX 1 * + c x x'- x + C 2 X V ~" + • • • + c v _ x x + c p 
für x der Reihe nach die Glieder einer arithmetischen Reihe 
erster Ordnung a, a -f- d, a + 2i7,. . . einsetzt, so bilden die 
resultierenden Funktionswerte 
f&), f(a + d), f(a + 2d),••• 
eine arithmetische Reihe p tei Ordnung. 
Beweis: Die Differenzen 
f{x + d) - fix) = g x {x), fix + 2d) - fix + d) = g x {x + d), 
fix + 3d) — f\x + 2d) = g x {x + 2d),... 
sind Funktionen ip — l) ten Grades, die aus der ersten unter ihnen 
hervorgehen, indem man statt x der Reihe nach x + d, x -j- 2d, .. . 
setzt. — Die Differenzen 
1) Für eine arithmetische Reihe dritter Ordnung (jp = 3) hat diese Formeln 
(II) und (III) Jakob Bernoulli in seiner Ars conjectandi (S. 98 u. 99) aus den 
vorher gefundenen Summen der figurierten Zahlen hergeleitet. 
2) De Lagny, Histoire de l’Académie des Sciences, 1722, S. 281 — 282. 
Vgl. Cantor III, S. 389.