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208 V. Kapitel. Bechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
9i(x + ä) ~ 9x{ x ) — ft(a), 9t(ie + 2Ä) - g x {x + d) = g 2 (x + d), 
9i(x + 3 ä) — g x (x + 2d) = g 2 {x + 2d),... 
sind Funktionen (p — 2) ten Grades, die gleichfalls aus der ersten unter 
ihnen hervorgehen, wenn man für x substituiert x + d, x'-\-2d usw. 
So fortfahrend, erkennt man, daß die (p — l) te Differenzenreihe von 
f(x), f(x -f d), f{x + 2d), . . . aus den Funktionen ersten Grades 
9 P -iO); 9 P -i(x + d), 9 P -i(x + 2d),. . . 
besteht. Ist nun 
9p-iO) = mx + *», 
so lautet für x = a die (p — l) te Differenzenreihe 
+ ma-\-n-\-md, ma + n + 2md,. ..; 
sie ist also eine arithmetische Reihe erster Ordnung, und damit ist 
der vorgelegte Satz bewiesen. 
Anwendungen; 
1. Es sei , „ 
Setzt man für x die Werte p, p -f- 1, p -f 2, p + 3, . . ., so 
bilden die sich ergebenden Funktionswerte 
(P\ /JP + l\ /i> + 2\ /jp + 3\ 
\p)’ \ p )’ \ p /’ \ p ) f ' ’ ’’ 
nach § 1 C, I, b 3, S. 187 die figurierten Zahlen p teT Ordnung, eine 
arithmetische Reihe p teT Ordnung. 
2. Für n , , 
/ [x) = x p und a — 1, d = 1 
erhält man die arithmetische Reihe p ter Ordnung: 
1**, 2 P , 3 
Um die Summe dieser n Zahlen zu finden, hat man nur in Gl. III 
auf S. 207 für d 0 w , d 0 ^\ . . ., d 0 die Werte I (S. 204) einzusetzen. 
(IV) 
Dann erhält man: 
s (p) = lp + 2 p + 3* + 
+ n* 
- (I) ■ V + (2) [ 2P - lf ] + (s) [ 3P - (i) 2P + lf ] 
+ • ■ • + ( * ) [*"’ ■- (” 7 *) (» - C” + (”'7 ‘) ‘- 2 )* + - ■ + (- !)’■ 1 ■ 1! . 
+ (— i)"- 1 L i) 2p +(— l ) y ■ lp ] ■ 
1 bis 
{x+1 
setze : 
und a 
(V) (