§ 3. Summe der p ten Potenzen der n ersten natürlichen Zahlen. 209 
Die rechte Seite ist eine ganze rationale Funktion von n vom 
Grade (p + 1); ein von n freies Glied kommt nickt vor. 
Für p = 2 wird: 
s ,W = l* + 2* + 3 s + .•• + »* = (”)+ (”)-3 + (”)-2 
-f(» + 1 )( 8 " + 1 )- 
Für p == 3 erkalten wir: 
S B ( 3) = l 3 + 2 3 + 3 3 H h« 3 
- o+0 • 7 +(D • i8 +(:)- 6 
n 4 w s , w 2 
== "F IT T 
= jjy (w + 1)J = (l + 2 + 3 + *** + w) 2 . 
Die Summe der dritten Potenzen der natürlichen Zahlen von 
1 bis n ist also gleich dem Quadrat der Summe dieser Zahlen. 
Für p — 4 ergibt sich: 
Sn W=D + 2 4 + 3 4 +--- + w 4 
- (D + (?) • 15 + (i) • 50 +(”) - 60 +(?) - 24 , 
n 5 , n* , n s n 
-T + Y + Y-ü, usw - 
Die Summe der gleichnamigen Potenzen der natürlichen Zahlen 
kann man auch unabhängig von der Theorie der arithmetischen Reihen 
in der folgenden Weise finden. Man gehe aus von der Biuomial- 
formel 
(x-\- l)i ,+1 = x p+1 -f (f "I”*) xP + *) xP ~ 1 + ( i * *) ^ -2 + * * • 
+ ( i, + 1 )* 2 + ( p t 1 )z + 1 , 
setze in dieser Gleichung für x der Reihe nach die Zahlen 1, 2, 3, .... n 
und addiere die entstehenden Gleichungen. Dann ergibt sich: 
(V) (« +!)»+•=. 1 + (* +*) ,.(p) + f + ‘) + ( p | ‘) sj-r-v + ••• 
+ ( i ’i i ) s . (ä, + ( i ’i 1 ) S “ (1) + M - 
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Färber: Arithmetik.