§ 3. Summe der p ten Potenzen der n ersten natürlichen Zahlen. 211 
Anmerkung: 
Die Gleichungen (VII) oder (VIII) kann man auch zur independenten Darstellung 
4*) gebrauchen, wie wir hier noch kurz zeigen wollen. 
von s; 
Durch Entwicklung der linken Seite von (VIII) nach dem binomischen Lehr 
satz erhält man; 
Da auf der linken Seite n in keiner höheren als der (£>+ l) ten Potenz verkommt, 
kann auch sj- p ^ als Funktion von n den (p -f- l) ten Grad nicht übersteigen (wie 
übrigens auch aus (IV), S. 208 hervorgeht). 
Wir setzen deshalb: 
s n {p) = cp{p)-n p + 1 -}-cp 0 {p)-n p -\-cp 1 (j))-n p 1 + <fz(p)-n p 2 
+ <p a {p)-n p ~ 3 , 
wo cp, cp 0 , <p 1 , qp 2 , qp s ,... noch zu bestimmende Funktionen bedeuten. 
Es ist dann entsprechend 
•»fr 2) = cp{p — 2) • n p 1 + 9> 0 iP — 2) • n p 2 + tpi {p — 2) • n p 3 
+ qp 2 (P — V)-n p ~‘ i + cp s {p — 2)-n p ~ h -\ usw. 
Wenn man diese Werte von sj p \ sj p ~‘ 2 \ ... in die rechte Seite von (IX) 
einsetzt, ergibt sich zunächst durch Vergleichung der Koeffizienten gleich hoher 
Potenzen von n unmittelbar : 
1. 
2. 
3. 
<3P 2 (P) = 0 > 
4. 
Durch das Verfahren der vollständigen Induktion zeigt man dann weiter 
in einfacher Weise, daß 
a) alle Funktionen cp mit geraden Indices, cp i , cp 6 , qp 8 ,... den Wert Null 
haben; 
b) wenn u irgend eine ungerade Zahl bedeutet, 
wo C eine von p unabhängige Zahl ist. 
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