214 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen.
des bequemeren Druckes wegen die Abkürzung
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einführte (Cantor II, S. 762—763). Wahrscheinlich unabhängig von
den beiden italienischen Mathematikern hat Daniel Schwenter aus
Nürnberg in seiner Geometria practica (1618) Kettenbrüche benutzt,
um Verhältnisse großer Zahlen näherungsweise durch Brüche mit
kleinerem Zähler und kleinerem Nenner zu ersetzen (Cantor II,
S. 763—765). Vermutlich ist ebenso selbständig Lord Brouncker
(1620—1684), der erste Präsident der Royal Society, zu diesem Gegen
stände gelangt (Cantor II, S. 765). Eine weitere Förderung erfuhr
die Lehre von den Kettenbrüchen durch Huygens, welcher sie in
der erst nach seinem Tode 1698 herausgegebenen Schrift Descriptio
automati planetarii zu ähnlichen Zwecken wie Schwenter benutzte 1 )
(Cantor III, S. 97), Eine ausführliche Theorie der Kettenbrüche hat
Leonhard Euler in zwei Abhandlungen im 9. und 11. Bande der
Commentarii Academiae Petropolitanae (ad annum 1737 und ad annum
1739) gegeben, wo er ihnen zuerst einen besonderen Namen, fractio
continua, beigelegt hat; der elementare Teil dieser Abhandlungen
ist auch im 18. Kapitel des 1. Bandes von Eulers Introductio in
analysin infinitorum (1748) wieder dargestellt. Die ältere Literatur
über die Kettenbrüche findet man in S. Günthers „Beiträge zur Er
findungsgeschichte der Kettenbrüche“, Programm der Lateinschule zu
Weißenburg 1872, die neueren Arbeiten in der Encyklopädie der Mathe
matischen Wissenschaften, Bd. I, S. 119.
B. Die einfachen oder regelmäßigen Kettenbrücke.
Definition: Wendet man auf zwei beliebige positive ganze Zahlen
a, e das für die Aufsuchung des größten gemeinschaftlichen Teilers
zweier Zahlen Kap. I, § 11 A, S. 52 und 53 gelehrte Verfahren an, so
erhält man die Kette von Gleichungen:
a
= 1\q6 -j- e i7
WO
Ä’o
0,
<e,
e
— -H >
WO
:>
1,
@2
= ^2 ^2 d - ^3 ’
wo
h
:>
e 3
6 2 ,
6 m- 2
= + e ml
wo
1—1
1
e m
< e m-
e m-1
li
wo
K
>
1.
1) Ygl. die Anmerkung S. 225.
