220 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
berechnen. Wie aus den Formeln hervorgeht, sind Z und N u (für 
g. = 2, 3, ..., m) positive ganze Zahlen, und es ist stets 
%ii > ^ > N fl _ t . 
Für den als Beispiel vorher (S. 216) angegebenen Kettenbruch 
(3, 7, 16, 1, 288, 1, 2, 1, 3, 1, 7, 4) 
erhält man die Näherungswerte 
TJ _ 8 • 7 + 1 22 
ü l 7 ~ Y ’ 
j T 15-22 + 3 333 
Ü2 ~ 16-7 + 1 _ 106 ’ 
J T 1 - 333 + 22 355 
3 ~ TI 06 + 7 “ 113 » 
JT 288 ■ 355 + 333 102 573 _ 
üi ~ 288 ■ 113 + 106 — 32 650 USW ' ' 
Eliminieren wir aus den beiden Gleichungen (II) k^, indem wir von 
der mit N fl _ l multiplizierten ersten Gleichung die mit Z t multi 
plizierte zweite abziehen, so ergibt sich: 
~ + N fl _ i Z fl _ 2 . 
Diese Gleichung besagt, daß, wenn man in der Differenz 
den Index p, durch g — 1 ersetzt, sie das entgegengesetzte Vorzeichen 
annimmt, während ihr absoluter Wert derselbe bleibt. Nun ist 
Z 1 N 0 — N X Z 0 = k 0 \ + 1 — k Q \ = 1, 
also 
Z 2 N t - N 2 Z X = -1, 
Z 3 N 2 -N S Z 2 = 1 
und allgemein 
(ID) ZpNfjL-i - = (- l)^- 1 . 
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Aus dieser Gleichung folgt, daß Z und relativ prim sind; 
denn ein gemeinsamer, von 1 verschiedener Teiler von Z und 
1) Z7 0 , 77 1 , ü i , 77 s sind gleichzeitig Näherungswerte der transzendenten Zahl 
7t, aber nicht mehr 77..