222 V- Kapitel. Bechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
K gellt also aus TJ hervor, indem man x für Jc u substituiert. Nun 
war aber 
also 
TJ„ 
k Z 
K- 
*^-1 + ^- 2 : 
xZ /u-l + Z (i- 2 
«^-1 + ^-2 ’ 
denn Z^_ x , Z^_ 2 , sind von ^ unabhängig. 
Es wird 
(x kJ-{Z fi 1 N /u ^ Z fi i N fl i) 
oder wegen (III) 
(YI) AT- 
^->-1 + ^-2) ' 
77 = (- l)Ma 
* (*-Vi+^-2)■ (V^u-1 + 
Da der Nenner der rechten Seite positiv und x > 7c ist, hat 
K— U u dasselbe Vorzeichen wie (— !)■", d. h. aber: Alle Näherungs 
brüche mit geradem Index sind kleiner, alle mit ungeradem 
Index sind größer als K. K liegt also zwischen irgend einem 
Näherungsbruch mit geradem und irgend einem Näherungsbruch mit 
ungeradem Index, also z. B. zwischen ü fl und Es muß dem 
nach sein: 
also wegen Gleichung (IV): 
l-K- F„-il< ^ 
oder, da > N u _ 1 , um so mehr: 
| K - Ufi—\ | < 
fi-i 
/t-i 
jv ’ 
V 
iv ^ 
Ersetzt man also den Kettenbruch durch einen Näherungswert U ft _ 1 , 
so ist der gemachte Fehler kleiner als ein Bruch, dessen Zähler 1 
und dessen Nenner das Produkt aus dem Nenner dieses Näherungs 
bruches und dem des nächstfolgenden ist, oder erst recht kleiner als 
der Bruch, dessen Zähler 1 und dessen Nenner das Quadrat des 
Nenners des Näherungsbruches ist. 
Um die absoluten Beträge der Differenzen K— TJ und K— 17 
vergleichen zu können, bilden wir noch: 
xZ n-1 "h z ¡x — 2 
1“- 1 
K- u.. 
x ^-l+K- 
(Vl 
H-2 
— j“ -1 
^-1 
-^-1^-2) 
( xN v-i + N /i-z)' N /*-i 
(-1 )' i 1 
/<-1 
(VII)