§ 4 lì. Vergleichung des Kettenbruchs mit seinen Näherungswerten. 225 
Färber: Arithmetik. 
15 
Multiplizieren wir die erste der beiden Gleichungen mit N t , 
die zweite mit N„ und addieren beide, so erhalten wir: 
- 3-iA.) = (- 1 + ßNJ, 
5 —aJ^_! + ßN p -, 
folglich 
Wenn man also einen vorgelegten Bruch, dessen Zähler und 
Nenner große Zahlen sind, in einen Ketteubruch entwickelt, so stellt 
jeder Näherungswert dieses Kettenbruches die beste Annäherung an 
den gegebenen Bruch in dem Sinne dar, daß kein anderer Bruch 
existiert, welcher dem gegebenen Bruche näher käme und gleichzeitig 
in kleineren Zahlen ausdrückbar wäre. 1 * ) 
Um den Grad der Annäherung der vorher (S. 220) berechneten 
Näherungswerte U 0 , U- L , U 2 , U 3 , Z7 4 des Kettenbruches (3, 7, 15, 1, 
288, 1, 2, 1, 3, 1, 7, 4) an den genauen Wert K = 3,14159 265 
bequem beurteilen zu können, schreiben wir die Näherungsbrüche, als 
Dezimalzahlen: 
Po- |-3, 
U 1 =y == 3,142 857..., 
^-ìS- 3 ’ 1415094 ---’ 
P,_^_ 3,141 592 92..., 
P .-^- 3 - 1415926493 - 
Z7 4 weicht nur noch um etwa 7 Einheiten der zehnten Dezimal 
stelle von K ab, und die Zahlwerte bestätigen für dieses Beispiel, daß 
Ü 0 <U 2 <U 4 <K< u 3 <u 
1) Diese Eigenschaft der Näherungsbrüche gerade hat Daniel Schwenter 
und Christian Huygens zur Einführung der Kettenbrüche veranlaßt (vgl. 
§ 4A, S. 214). Huygens wollte ein Planetarium hersteilen, das durch ineinander- 
greifende Zahnräder in Bewegung zu setzen war. Die Anzahl der Zähne der 
verschiedenen Räder mußte den Umlaufszeiten der Planeten entsprechen, deren 
Yerhältnisse sich genau nur durch recht große Zahlen ausdrücken lassen. Da 
aber die Anfertigung von Rädern mit mehr als einer Million genau gleicher Zähne 
praktisch unausführbar war, stand Huygens vor der Aufgabe, die in großen 
Zahlen ausgedrückten Yerhältnisse näherungsweise durch Brüche in kleineren 
Zahlen zu ersetzen.