§ 4 C. Näherungswerte der allgemeinen Kettenbrücke. 229 
Man setze in (IV) für ft der Reihe nach 1, 2, . .., fi — 1, ft und 
addiere die entstehenden ft Gleichungen. Dann ergibt sich: 
(V)^-fc 0 = 
■f ••• + (-1)^" 1 
ft-i 
Wir wollen noch eine etwas allgemeinere Gleichung als (IV) 
ableiten, nämlich die Differenz TJ V — berechnen, wo 0 <ift<v<^w. 
Es ist 
U v - 
oder, wenn wir 
setzen, 
V+* 
Wi 
Jr T V + 2 ? 
> + l + T. r 
> + 2 
TJ ic T T _L "** X 
U ’- Ic,1 + T 1 +■•■ + TT + “ 
>+l 
X 
U v entsteht also aus 27 +J , indem man ^ < + 1 durch a; ersetzt. 
Deshalb wird 
XZ H + h fl + 
und 
f J v ~ xN u + h 
x ^ "h +1 -1 
xZ fi + h p + i Z fi-i 
N 
ft +1 /> -1 
( *«•••»„ Vn 
Beschränken wir uns jetzt auf solche Kettenbrüche, deren sämt 
liche Teilzähler und Teiluenner positiv sind, so gilt dasselbe auch 
von den Zählern und Nennern aller Näherungsbrüche, und dann folgt 
aus (VI), daß, wenn v>ft, U v — U das Vorzeichen (—l) 1 “ hat. Wenn 
also ft gerade ist, ergibt sich ü v > U H , und wenn ft ungerade ist, 
U v < U , gleichgültig ob v gerade oder ungerade ist. 
Es bestehen demnach die Ungleichungen 
ü 0 < U 2 < • •. < u h < u 3 < u t . 
1) Diese Gleichung wird namentlich bei sich ins Unendliche erstreckenden 
Kettenbrüchen zur Untersuchung der Konvergenz gebraucht. Läßt man g wachsen, 
so bleiben die bereits vorhandenen Glieder der rechten Seite ungeändert, es 
treten aber neue hinzu.