232 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
Sind x x und x 2 zwei verschiedene Zahlen, die beide sämtlichen 
vorgelegten Kongruenzen genügen, so muß sein; 
x x = x 2 (mod A)-, x x = x 2 (mod B)\ x x = x 2 (mod (7); x x = x 2 (mod D). 
x x — x 2 ist demnach sowohl durch A wie durch B wie durch G wie 
durch D, also, weil diese Zahlen relativ prim, auch durch AB CD 
teilbar; d. h. x x und x 2 können sich nur um ein Vielfaches von 
AB CD unterscheiden. 
Spezieller Fall: Es sei 
a = h = c = d = M, 
und es werde gesetzt: 
ABCD = N. 
Dann folgt aus den Kongruenzen 
x = M(mod A); x = M(mod J7); x = M(mod (7); x = M(mod D) 
einerseits: ,, 
x = M + kN, 
wo V irgend eine ganze Zahl bedeutet, andererseits aber auch (siehe 
die soeben gelöste Aufgabe II.): 
also 
und 
x = BCDa + ACDß + ABDy + ABCd + IN, 
M + Tc'N = BCDa + ACDß + ABDy + ABC 8 + hN 
a- TT 
N A ' B ' C ' B ' ^ ’ 
wo K = h — Ti'. 
M 
Damit haben wir den Bruch dessen Nenner das Produkt der 
zueinander teilerfremden Zahlen A, B, C, D ist, als Summe von Brüchen, 
deren Nenner die einzelnen Faktoren A, B, C, D sind, dargestellt, 
also auch die früher (Kap. III, § 6, S. 133 u. 134) erwähnte Aufgabe 
gelöst, einen Bruch mit beliebigem Nenner in eine Summe von 
Brüchen umzuwandeln, deren Nenner die in dem gegebenen Nenner 
enthaltenen Primzahlpotenzen sind. *) 
Beispiel: Den Bruch als Summe von Brüchen mit den 
Nennern 9, 5, 7 darzustellen. 
Lösung: Wir bestimmen zunächst die ganzen Zahlen a, ß, y, so daß 
5 • 7 • a = 16 (mod 9); 9 • 7 • ß = 16 (mod 5); 9 • 5 • y = 16 (mod 7) 
oder 
8a = 7 (mod 9); 3/3 = 1 (mod 5); 3y = 2 (mod 7). 
1) Gauß, Disquisitiones Arithmeticae, Art. 309—311.