238 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
Auf die weitere Geschichte der Logarithmen können wir hier nicht 
eingehen; wir verweisen deswegen auf M, Cantor, Vorlesungen II, 
S. 725—748, und auf Tropfke, Geschichte der ElementarmathematikII, 
S. 141—186. Hinzufügen wollen wir nur noch, daß die moderne De 
finition des Logarithmus als .Potenzexponent sich (nach Tropfke) 
zum ersten Male in Gardiners Tahles of Logarithms, London 1742, 
ausdrücklich und deutlich ausgesprochen findet 1 ), während die all 
gemeine Anerkennung dieser Auffassung der Logarithmen erst Eulers 
Introductio in analysin infinitorum (1748) zu verdanken ist. 
ß. Begründung des Begriffes „Logarithmus“ im rationalen ZahlengeMete. 
Daß es im Gebiete der rationalen Zahlen für eine beliebige po 
sitive Basis zu einer beliebigen positiven Zahl im allgemeinen keinen 
Logarithmus gibt, haben wir schon Kap. II, § 5 D, S. 96 gezeigt. 
In ähnlicher Weise aber, wie wir die im Bereiche der rationalen 
Zahlen im allgemeinen unlösbare Aufgabe, aus einer beliebigen positiven 
Zahl irgend eine Wurzel zu ziehen, durch eine andere, lösbare, ersetzen 
konnten, wenn es nicht auf absolute mathematische Genauigkeit an 
kommt, so sind wir unter derselben Bedingung auch imstande, zu 
einem beliebigen positiven Numerus den zugehörigen Logarithmus zu 
finden 2 ). Es sei z. B. die Aufgabe vorgelegt, für die Basis 10 den 
Logarithmus der Zahl 2 anzugeben. Existiert nun auch keine Potenz 
von 10 mit rationalem Exponenten, welche gleich 2 wäre, oder in 
andern Worten, gibt es auch keine Potenz von 10 mit ganzzahligem 
Exponenten, welche gleich einer Potenz von 2 mit ganzzahligem Ex 
ponenten wäre, so läßt sich doch immer nach Wahl einer beliebig 
großen positiven ganzen Zahl n eine positive ganze Zahl v so be 
stimmen, daß 
10 v < 2" < 10 v + 1 . 
Wir könnten ohne weiteres aus diesen Ungleichungen folgern: 
V V + 1 
10" < 2 < 10~*~, 
2 also zwischen zwei Potenzen von 10 einschließen, deren Exponenten 
sich nur um — unterscheiden, d. h. um einen Bruch, den man durch 
n 7 7 x 
Vergrößerung von n beliebig klein machen kann, wenn nur 10" in 
1) „The common Logarithm of a number is the Index of that power of 
10 which is equal to the nnmber.“ 
2) Von einem „Näherungswerte“ des Logarithmus können wir natürlich so 
lange nicht reden, wie wir nicht festgestellt haben, was unter dem wahren Werte 
des Logarithmus zu verstehen ist.