§ 2. Vergleichung der Zahlen. 
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also nur verschiedene Zeichen für dieselbe Zahl sind. Die Aussage 
a = b heißt eine Gleichung. Von gleichen natürlichen Zahlen kann 
man überhaupt nur reden, insofern als man sich jede Zahl wie auch 
jeden andern Begriff beliebig oft verstellen kann. Es ist deshalb 
selbstverständlich, daß man, wenn a und b natürliche Zahlen sind, und 
wenn a = b, in jeder Aussage a durch b und umgekehrt auch b durch 
u ersetzen kann; also folgt von selbst aus a = h und b = c auch 
a = c. Man erkennt ferner leicht * 1 ), daß dann und nur dann, wenn 
a = &, sich jedem Objekte der Menge A ein Objekt der Menge B 
zuordnen läßt und umgekehrt jedem Objekte von B auch eins von A. 2 ) 
Sind A und B nicht gleichzahlig, so läßt sich eine dieser beiden 
Vielheiten, z. B. A, in zwei Gruppen zerlegen, deren eine B gleich- 
beiden ersten Buchstaben Descartes das Zeichen oo gebildet hat. Erst all 
mählich (während des 17. Jahrhunderts) hat das Zeichen = die übrigen ver 
drängt. Die Zeichen )> und für „größer“ bezüglich „kleiner“ kommen zuerst 
bei Th. Harriot (Artis analyticae praxis, London 1631) vor. 
1) Ygl. auch Gr. Cantor, Mathem. Annal. Bd. 46, S. 482 u. 483. 
2) Dieses hinreichende und notwendige Kriterium für die Gleichzahligkeit 
zweier Vielheiten wird in fast allen neueren Darstellungen der Arithmetik als 
Definition der Gleichzahligkeit verwendet. Wir sind von diesem Gebrauche ab 
gewichen und auch hier dem Vorgänge Husserls (und auch G. Cantors) ge 
folgt, weil einerseits rein begrifflich die Möglichkeit der gegenseitigen eindeutigen 
Zuordnung doch nicht genau dasselbe ist wie die Gleichzahligkeit (beides sind, 
um in der Sprache der Logik zu reden, Begriffe von gleichem Umfange, aber 
nicht von gleichem Inhalt), und weil andrerseits praktisch das Kriterium seine 
Verwendung nur auf einer Kulturstufe finden dürfte, auf welcher die Unter 
scheidung und Benennung der Zahlen noch wenig entwickelt ist und die Er 
mittlung einer größeren Zahl deshalb Schwierigkeiten bietet. Aus gleichen 
Gründen haben wir auch nicht (wie es z. B. in den Lehrbüchern von E, Schröder, 
0. Stolz, H. Weber geschieht) die Definition der Zahl selbst auf dieses Kri 
terium für die Gleichzahligkeit gegründet. Die genannten Mathematiker fassen 
alle Mengen, deren Glieder sich gegenseitig eindeutig zuordnen lassen, zu einer 
Klasse zusammen und definieren dann die Zahl als das allen Mengen einer Klasse 
Gemeinsame, gewissermaßen als die Invariante der Klasse. Dies ist aber, wie 
nach unsrer Ansicht Husserl mit Recht bemerkt, gar nicht der wirkliche Sinn 
einer Zahlenaussage. „Nennen wir eine Menge vor uns liegender Nüsse darum 
vier, weil sie einer gewissen Klasse von unendlich vielen Mengen angehört, die 
sich wechselseitig in eindeutige Korrespondenz setzen lassen? Wohl niemand 
hat hierbei jemals solche Gedanken, und kaum fänden wir überhaupt praktische 
Anlässe, uns für dergleichen zu interessieren. Was uns in Wahrheit interessiert, 
das ist der Umstand, daß eine Nuß und eine Nuß und eine Nuß und eine Nuß 
da ist. Diese ungeschickte und umständliche Vorstellung gestalten wir sofort 
für Denken und Sprechen bequemer, indem wir sie unter Vermittlung der all 
gemeinen Mengenform eins und eins und eins und eins, welche den Namen vier 
hat, denken. Hierbei erhält das unbestimmte eins seine Determination durch den 
zum Zahlnamen gefügten Gattungsnamen Nuß.“ Auch G. Cantor (Mitteilungen 
zur Lehre vom Transfiniten, Zeitschr. f. Philosophie u. philosoph. Kritik, Bd. 91, 
S. 55, Anm.) sagt ausdrücklich: „Zur Bildung des Allgemeinbegriffs ,fünf‘ bedarf 
es nur einer Menge, welcher diese Kardinalzahl zukommt.“