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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
zahlig ist. In diesem Falle sagt mau, a sei größer als 5, in Zeichen 
a > h, oder auch, h sei kleiner als a, in Zeichen h < a. Eine solche 
Aussage heißt Ungleichung. Um auszudrücken, daß a entweder größer 
oder kleiner als h, jedenfalls nicht gleich h ist, schreiben wir a^h. 
§ 3. Addition. 
A. Begriff der Summe. 
Liegen irgendwelche Mengen Ä, B, C, ... N von beliebigen 
Objekten vor, so können wir uns dieselben zu einer Menge S ver 
einigt denken, welche die sämtlichen Objekte der einzelnen Mengen, 
aber keine andern enthält. Wenn es uns nur auf die den Mengen 
A, JB, C, . . . N entsprechenden Zahlen a, h, c, . . . n ankommt, so ab 
strahieren wir vollkommen von der Natur der einzelnen Objekte, be 
trachten jedes nur als ein „etwas“ oder „eins“ und finden die der 
resultierenden Menge S zukommende Anzahl, indem wir die Einheiten 
von a, b, c, . . . n zu einer Zahl s vereinigen. Diese Operation bezeichnet 
man als Addition, die gegebenen Zahlen als Summanden, das Resultat 
als Summe. Das Zeichen für die Addition ist + 1 ), die Summe der 
Zahlen a, b, c, . . . n wird also a + + M geschrieben. Das 
Urteil, daß die so gebildete Zahl s ist, wird durch die Gleichung 
a + = s ausgedrückt. Zu einer Summe können be 
liebig viele Zahlen vereinigt werden. 
B. Unabhängigkeit des Wertes einer Summe von der Anordnung* 
der Summanden. 
Statt durch einen einzigen Denkakt die Einheiten der Zahlen 
а, Ъ, Cf ... n gleichzeitig zu einer Zahl zu vereinigen, können wir in 
mannigfacher Art auch schrittweise vergehen, indem wir irgendwelche 
Summanden für sich addieren und dann die erhaltenen Teilsummen 
vereinigen, wenn nur bei diesem Verfahren jeder Summand einmal, 
aber auch nur einmal berücksichtigt wird. In der Schrift unterscheiden 
wir diese verschiedenen Möglichkeiten der Summenbildung durch die 
Anwendung von Klammern. 2 ) Wir schließen die durch Addition einiger 
der gegebenen Zahlen entstandenen Teilsummen in runde Klammern 
ein, die durch Addition solcher Teilsummen entstandenen Teilsummen 
1) Es ist nachweisbar seit dem Ende des 15. Jahrhunderts und vielleicht 
aus dem t des Wörtchens et entstanden. Näheres siehe Cant or, Vorlesungen II, 
S. 230. 
2) Eckige und geschweifte Klammern hat zuerst François Viète (1598), 
runde Albert Girard (1629) verwendet. Vgl. J. Tropfke, Geschichte der 
Elementarmathematik, Bd. I, S. 139.