270 V- Kapitel. Bechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
II. D’Alembert bat behauptet, daß, wenn man eine Münze zwei 
mal in die Höbe werfe und fallen lasse, die Wahrscheinlichkeit, daß 
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mindestens einmal die Schrift oben liege, -- sei. Er schließt nämlich 
so: entweder fällt schon beim ersten Wurf die Schrift nach oben, 
dann ist das Spiel entschieden, oder man erhält zuerst Kopf und dann 
Schrift oder endlich beidemal Kopf. Es seien also im ganzen drei 
Fälle möglich und darunter zwei günstig, also betrage die Wahr- 
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scheinlichkeit — • Diese Schlußweise ist falsch. Als gleich möglich 
sind vielmehr (wie man ohne weiteres erkennt, wenn man, statt eine 
Münze zweimal, gleichzeitig zwei Münzen wirft) die vier Zusammen 
stellungen: Schrift, Schrift-, Schrift, Kopf; Kopf, Schrift; Kopf, Kopf 
anzusehen, von denen drei günstig sind. Also beträgt die gesuchte 
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Wahrscheinlichkeit - r ). 
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Ist erst die Frage der Gleichmöglichkeit der Fälle entschieden,, 
so kommt die Lösung einer Wahrscheinlichkeitsaufgabe auf eine ein 
fache Abzählung der günstigen und der möglichen Fälle hinaus. 
Sehr erleichtert wird dieses Abzählen häufig durch die Hilfsmittel 
der Kombinatorik, und so erklärt es sich, daß diese beiden Disziplinen 
sich Hand in Hand entwickelt haben. Auch wir gehen auf die Wahr 
scheinlichkeitsrechnung im wesentlichen nur so weit ein, als sie eine 
der wichtigsten und interessantesten Anwendungen der Kombinatorik 
bildet. Von einfachen, mittels kombinatorischer Formeln zu lösenden 
Wahrscheinlichkeitsaufgaben wollen wir nur noch ein Beispiel be 
handeln : 
Eine Urne möge a weiße und h schwarze Kugeln enthalten. 
Man greift k Kugeln heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 
daß sich unter diesen a weiße und ß schwarze befinden? 
(cc -f- ß = k, a < a, ß < 6). 
Lösung: Aus einer Menge von (a -f- h) Kugeln lassen sich k auf so 
viele Arten herausnehmen, wie es Kombinationen ohne Wiederholung von 
(a -f- h) Elementen zur k ten Klasse gibt, also m = ^ • Gruppen von cc 
weißen Kugeln gibt es ( a V Gruppen von ß schwarzen Kugeln ( ^ • 
en von cc 
m von 
a ] 
Da nun jede Zusammenstellung einer Gruppe der ersten Art mit 
einer Gruppe der zweiten Art für unsern Zweck günstig ist, wird 
also w = 
1) Auf diese Aufgabe kommen wir noch mehrfach zurück.