272 V. Kapitel. Kechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
II. Satz von der „zusammengesetzten“ Wahrscheinlichkeit oder 
der Wahrscheinlichkeit des „Sowohl als auch“. 
Ein Ereignis E gelte als verwirklicht, wenn jedes der Ereignisse 
E x , E 3 , . . v E n eingetroffen ist. Dabei ist es gleichgültig, ob diese 
n Ereignisse zu gleicher Zeit oder nacheinander eintreten. Wohl aber 
macht es einen Unterschied, ob E i} E 2 , . . ., E n unabhängig von 
einander sind, oder ob die Verwirklichung eines der Ereignisse einen 
Einfluß auf die Wahrscheinlichkeit der andern ausübt. 
a) Die Wahrscheinlichkeit w für das Zusammentreffen 
mehrerer voneinander unabhängiger Ereignisse E ly E 2 ,..., E n 
ist gleich dem Produkte w x • w 2 • • • w n der Wahrscheinlich 
keiten dieser n Ereignisse. 
Beweis: Für das Ereignis E v sei die Anzahl der möglichen Fälle 
m v7 die der günstigen g v (v = 1, 2, . . ., n). Da die Gesamtheit der 
Zusammenstellungen irgend eines möglichen Falles von E t mit irgend 
einem möglichen Falle von E 2 usw. mit irgend einem möglichen Falle 
von E n die sämtlichen m möglichen Fälle für E liefert, ist 
m = m x - m 2 ■ • • m n . 
Dieselbe Überlegung ergibt die Zahl g der für E günstigen Fälle 
9 = ■■■ 9 n > 
9i • 9% • • • 9n 
also 
w 
= tv. • Wo 
Beispiel: Eine erste Urne enthalte a Kugeln, darunter cc weiße; 
eine zweite enthalte h Kugeln, darunter ß weiße. Man zieht aus jeder 
der beiden Urnen je eine Kugel. Die Wahrscheinlichkeit, daß die beiden 
gezogenen Kugeln weiß sind, ist alsdann ^ • Ob die beiden 
Kugeln gleichzeitig oder nacheinander gezogen werden, ist gleichgültig. 
Folgerungen: Wenn die Ereignisse alle aus demselben Komplex 
möglicher Fälle hervorgehen, also auch m x = m 2 = • • • = m n ist, so 
können die Ereignisse selbstverständlich nur nacheinander erfolgen. 
Ein Beispiel hierfür ist die Forderung, mit denselben drei Würfeln 
zuerst 13, dann 14, drittens 15 zu werfen. Die Wahrscheinlichkeit 
für das Zusammentreffen dieser Ereignisse in der angegebenen Reihen 
folge ist 
w = w 13 
• «*16 
21 
216 
15 
216 
10 175 
216 _ 559872 ' 
Spezialisieren wir noch weiter und verstehen unter E if E 2 , . . ., E n 
dasselbe Ereignis, so ist w x — w 2 = • • • = iv n , also die Wahrscheinlich-