§ 7 C, IV. Zusammengesetzte Wahrscheinlichkeitsauf'gaben. 
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IY. Beispiele. Die Sätze über die totale und die zusammen 
gesetzte Wahrscheinlichkeit dienen zur Lösung komplizierterer Auf 
gaben; ihre Anwendung erfordert allerdings oft vorsichtiges Nach 
denken. 
1. Die schon mehrfach behandelte D’Alembert sehe Münz 
aufgabe: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen 
Werfen einer Münze mindestens einmal Schrift zu erzielen?“ können 
wir jetzt auch folgendermaßen lösen: Der Erfolg tritt ein entweder, wenn 
man schon beim ersten Wurf Schrift erhält ^Wahrscheinlichkeit —j, 
oder wenn beim ersten Wurf Kopf, beim zweiten Schrift erscheint 
^zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit ^ • Nach dem Satze 
von der totalen Wahrscheinlichkeit ist also die gewünschte Wahr- 
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scheinlichkeit — 4- — = -r • 
“ 4 4 
2. Eine Urne A enthalte a Kugeln, darunter a weiße; eine 
zweite, B, enthalte h Kugeln, darunter ß weiße. Wie groß ist die 
Wahrscheinlichkeit, daß, wenn man blindlings aus einer der beiden 
Urnen eine Kugel herausnimmt, diese weiß ist? 
Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, aus A eine weiße Kugel zu 
• • CC • • t ß • 
ziehen, ist --, die, aus JB eine weiße Kugel zu ziehen, ~; die ver 
langte Wahrscheinlichkeit ist nun nicht etwa gleich der Summe 
d ß » m • 
— -f- ~, die ja bei passenden Werten von a, h, a, ß auch größer als 
1 sein könnte. Man muß vielmehr bedenken, daß die Wahrscheinlich 
keit, aus A eine weiße Kugel zu ziehen, ein zusammengesetztes Ereignis 
ist; die Wahrscheinlichkeit, die Urne A zu wählen, beträgt — und 
die Wahrscheinlichkeit, aus A eine weiße Kugel zu ziehen, ~ , also 
• • • • » 1 CC 
ist die zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit — • —; ebenso erhält man 
für die Wahrscheinlichkeit, die Urne JB zu wählen und aus ihr eine 
weiße Kugel zu ziehen, das Produkt ^ • Nach dem Satze von der 
totalen Wahrscheinlichkeit findet man dann für die in der Aufgabe 
gewünschte Wahrscheinlichkeit w die Summe ~ -f- ^ • Denkt 
man sich die (a -f- h) Kugeln in einer Urne C vereinigt, so ist die 
Wahrscheinlichkeit, aus C eine weiße Kugel zu ziehen, w = a ~!~-v • Im 
a -)- b 
allgemeinen, d. h. bei beliebigen Werten von a, a, &, ß, stimmen w 
und w nicht überein. Die Ursache dieser Verschiedenheit liegt darin, 
daß, solange die Kugeln auf die beiden Urnen A und JB verteilt sind, 
es unabhängig von den Werten von a und & gleich wahrscheinlich