278 V- Kapitel. Bechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
ist, eine der .J-Kugeln oder eine der .B-Kugeln zu greifen. Nach der 
Vereinigung der Kugeln in einer Urne beträgt aber die Wahrschein 
lichkeit, eine J.-Kugel zu ziehen, a & ; die Wahrscheinlichkeit, daß 
eine Kugel weiße Farbe hat, ist also die zusammengesetzte Wahr 
scheinlichkeit, eine Ä-Kugel von weißer Farbe zu greifen, a _|_ ^ • — • 
Ebenso ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, eine B-Kugel von 
weißer Farbe zu ziehen, das Produkt —• -f- und endlich für die 
’ a-\-h h 
Wahrscheinlichkeit w', entweder eine A-Kugel von weißer Farbe oder 
eine B- Kugel von weißer Farbe zu greifen, nach dem Satze C, I die 
Summe **-v- • — -| • 4 = “ • Daß in den speziellen Fällen 
a -f- b a a 6 b a-\-b r 
a = 6 und — = die beiden Wahrscheinlichkeiten w und w einander 
o o 
gleich sind, ist leicht zu erkennen. 
3. Von weiteren Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung 
wollen wir des historischen Interesses wegen nur noch das vielfach in 
der Literatur behandelte „Teilungsproblem“ (französisch: problème des 
partis, englisch; problem of points) erwähnen, dem die Wahrscheinlich 
keitsrechnung ihren Ursprung verdankt. Ein Nichtmathematiker 
de Me ré legte Pascal die folgende Aufgabe vor: „Von zwei Spielern, 
deren Geschicklichkeit als gleich vorausgesetzt wird, soll derjenige den 
ganzen Einsatz erhalten, der zuerst eine im voraus bestimmte Anzahl 
(w) von Partien gewinnen würde. Aus irgend einem Grunde geben 
sie aber das Spiel auf, nachdem der eine Spieler (n — cc), der andere 
(n — ß) Partien gewonnen hat. Wie ist nun der Einsatz zu teilen?“ 
Pascal und Fermât lösten, wenigstens für spezielle Werte von a, ß, 
die Aufgabe nach verschiedenen Methoden und wurden so die Be 
gründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Später beschäftigten sich 
mit dieser Aufgabe auch Hujgens und Jakob Bernoulli; deMoivre 
verallgemeinerte sie, und Montfort (1708) löste sie zum ersten Male 
allgemein. Lagrange und Laplace benutzten das Problem als 
Beispiel für die Lösung von Wahrscheinlichkeitsaufgaben durch 
Differenzengleichungen 1 ). Die Lösung der Aufgabe für kleine Werte 
von a und ß ist nicht schwierig 2 ); die Behandlung des allgemeinen 
1) Auf diese Methode können wir hier nicht eingehen, da wir uns auf die 
elementaren, mit Hilfe der Kombinatorik zu erledigenden Teile der Wahrschein 
lichkeitsrechnung beschränken. 
2) Wenn z. B. a = l, ß = 2, dem ersten Spieler also nur eine, dem zweiten 
Spieler noch zwei Partien an der geforderten Zahl fehlen, so könnte letzterer 
bei Fortsetzung des Spiels nur dann den ganzen Einsatz erhalten, wenn er so- 
wohl die nächste 
Wahrscheinlichkeit 
als 
auch die übernächste Partie