§ 3. Addition. 
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zweiter Ordnung in eckige Klammern, die durch Addition der Teil 
summen zweiter Ordnung entstandenen weiteren Summen in geschweifte 
Klammern. Mit diesen Klammern reicht man im allgemeinen aus, 
in besonderen Fällen führt man noch andere, sich von ihnen irgend 
wie unterscheidende Klammern ein. Unter Benutzung dieser Zeichen 
kann man einige der Möglichkeiten, die Summe von etwa fünf Zahlen 
a, b, c, d, e zu bilden, folgendermaßen andeuten: 
{[(a + b) -f c] -f d} + e oder [(a + b) + (c + cVj\ -j- e 
oder [c -f- (a + e)] + (b + d) usw. 
Um ein Übermaß von Klammern zu vermeiden, hat man das Überein 
kommen 1 ) getroffen, in dem Falle die Klammern gänzlich fortzulassen, 
wenn zur Summe der beiden zuerst hingeschriebenen Zahlen die dritte 
addiert, zu der so erhaltenen Summe die vierte hinzugefügt und in 
dieser selben Weise fortschreitend verfahren werden soll, so daß also 
+ stets dasselbe bedeutet wie {[(a + b) -f- c] -j- d} -f- e. 
Da bei all diesen verschiedenen Methoden, gegebene Zahlen 
a, b, c,. . . n zu addieren, die resultierende Zahl immer wieder die 
kollektive Vereinigung der Einer aller Summanden ist und wir bei 
der Bildung des Anzahlbegriflfes (in § 1) von der Gruppierung der 
Einer ausdrücklich abstrahiert haben, so liefern die verschiedenen 
Verfahren der Summenbildung stets dasselbe Ergebnis, in anderen 
Worten: die aus denselben Zahlen gebildeten, sich nur durch 
die Reihenfolge der Summanden und die Stellung der 
Klammern unterscheidenden Summen sind einander gleich. 
Von den so entstehenden Gleichungen heben wir die beiden folgenden 
hervor: 
(I) et -f- b = b -f- cl , 
(II) (a -j- h) -f- c — a -f- (b -(- c) . 
Gleichung (I) bezeichnet man als das kommutative, Gleichung (II) 
als das assoziative Gesetz der Addition. 2 ) Die Wichtigkeit dieser 
Gleichungen beruht darauf, daß bei der Addition (und auch bei ana 
logen Operationen) anderer als der natürlichen Zahlen, wo die Un 
abhängigkeit des Summenwertes von der Art der Summenbildung 
nicht unmittelbar einleuchtet, diese Unabhängigkeit für beliebig viele 
1) Ausführlicheres über den Gebrauch der Klammern siehe Schröder, 
Lehrbuch der Arithmetik und Algebra (Leipzig 1873), S. 214 ff. 
2) Diese Namen sind in Deutschland von Hankel in seiner „Theorie der 
komplexen Zahlensysteme“, S. 3, eingeführt worden. Die Wörter „kommutativ“ 
und (das § 5 zu erklärende) „distributiv“ stammen (nach Hankel) von Servois 
(Gergonnes Ann., Bd. Y, 1814, S. 93), „assoziativ“ wahrscheinlich von 
Hamilton.