§ 7 D. Gesetz der großen Zahlen. 
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Falls würde uns aber zu weit führen; für das Studium desselben 
verweisen wir auf die unter A zitierten ausführlichen Lehrbücher der 
W ahrscheinlichkeitsrechnung. 
D. Das Theorem von Jakob Bernoulli. (Gesetz der großen Zahlen.) 
Die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Erfolg bei Aus 
führung irgend einer Handlung sei w, die für den Nichterfolg v=l—w. 
Besteht die Handlung z. B. in dem Werfen eines Würfels, so ist die 
Wahrscheinlichkeit, daß die Eins oben liegt, w = die, daß man 
die Eins nicht erhält, v — — • Wird die Handlung etwa fünfmal hinter 
einander ausgeführt, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß beim ersten 
Male ein Erfolg, beim zweiten ein Mißerfolg, beim dritten und vierten 
Male wieder ein Erfolg, endlich beim fünften Male ein Mißerfolg 
eintritt, 
W • V • W • W ■ V — w s • V 2 . 
Wenn die Reihenfolge, in welcher Erfolge und Mißerfolge ab 
wechseln, keine Rolle spielt, wenn es nur darauf ankommt, daß unter 
fünf Versuchen drei Erfolge und zwei Mißerfolge eintreten, so sind 
so viele Reihenfolgen möglich, wie man fünf Elemente permutieren 
kann, die in zwei Gruppen von drei, bezüglich zwei einander gleichen 
zerfallen, d. h. für jede einzelne Reihenfolge ist die Wahr 
scheinlichkeit w 3 4 v 2 , also beträgt nach dem Satze von der totalen Wahr 
scheinlichkeit (C, I) die Wahrscheinlichkeit, daß bei fünf Versuchen 
drei Erfolge und zwei Mißerfolge in irgend einer Reihenfolge auftreten, 
5? 
• w 5 v 2 , und allgemein die Wahrscheinlichkeit, daß bei n Ver 
suchen fi Erfolge und v Mißerfolge verkommen (fi -f- v = n), 
n! / n \ 
w, = ~—~,W fl V v = ( ]w fl v n ~ fl . 
i“ gl vl \ g / 
Die Werte, die wir erhalten, wenn wir bei festem n die Zahl fi 
die Reihe 0, 1, 2, . . ., n durchlaufen lassen, 
w o =■. w i = ( i) w vn ~\ w 2 = ( 2 ) w2vTl ~ 2 > • • •, w n = w n , 
( Wahrscheinlichkeit —gewönne. Für ihn würde also die Wahrscheinlichkeit, 
\ 2/ i i 1 
hei Fortsetzung des Spiels den Einsatz zu bekommen, für den ersten 
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Spieler demnach 1 = — sein. Beim Abhrechen des Spiels muß also der 
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Einsatz so geteilt werden, daß der erste dreimal so viel erhält wie der zweite. 
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