Full text: Arithmetik (1. Teil, 1. Band)

284 T 7 . Kapitel. Bechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
die Zahl der Erfolge zwischen ¡i 0 — X und ¡i 0 + X liegt, gleich der 
Summe 
S i— w Ho-t + w ko-*+i^ ^ w ,u 0 -\ + «^„ + *-1 + W Mo+X* 
zu setzen ist. 
De Moivre, Stirling und Laplace ist es gelungen, für große 
Werte von n diese Summe näherungsweise durch einen geschlossenen 
Ausdruck, nämlich ein bestimmtes Integral, darzustellen. Auf die 
Ableitung der betreffenden Formel können wir hier nicht eingehen 
(vgl. z. B. das unter A, S. 267 zitierte Lehrbuch von E. C zuber); wir 
wollen aber die wichtigen, aus ihr zu ziehenden Folgerungen mitteilen: 
1 
1. Wenn für — ein fester (beliebig kleiner) Wert gegeben ist, so 
kann man durch hinreichend große Werte von n die Summe S X} . 
welche die Wahrscheinlichkeit darstellt, daß die Anzahl der Er 
folge von dem Produkte nw um nicht mehr als X abweicht, 
dem Werte 1 beliebig nahe bringen. 
2. Wenn ein fester, der Zahl 1 beliebig nahe kommender echter 
Bruch co gegeben ist, so kann man durch genügend große Werte 
von n erreichen, daß auch schon bei beliebig kleinen Werten 
X . 
von — die Wahrscheinlichkeit S,= c3 wird 1 ). 
n KJ 
Das in diesem Abschnitt D Yorgetragene bildet, bis auf die hier 
fehlende genauere quantitative Bestimmung, den wesentlichen Inhalt 
des Theorems von Jakob Bernoulli, welcher in seiner Ars con 
jectandi (Basel 1713) diese Untersuchung -zwar noch nicht zum end 
gültigen Abschluß gebracht, sie doch aber in Angriff genommen und 
ziemlich weit geführt hat. Das Bernoullische Theorem bezeichnet 
man auch als das „Gresetz der großen Zahlen“, wenngleich 
Poisson, der diesen Namen eingeführt hat, darunter eigentlich etwas 
anderes, nämlich die Verallgemeinerung des Bernoullischen Satzes 
für den Fall verstand, daß die Wahrscheinlichkeit w bei den aufein 
anderfolgenden Versuchen verschiedene Werte annimmt. 
1) ln dem vorher durchgerechneten Zahlenbeispiel war n — 1200, Ä = 15, 
l 1 
Sj = 0,77. Halten wir den Wert ■—= — fest, so können wir durch Yergröße- 
K 'V). Xi) 
n 80 
rung von n die Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 beliebig nahe bringen. Bleiben 
wir aber bei der Wahrscheinlichkeit 0,77, so können wir durch Vergrößerung 
l / 
von n erreichen, daß schon für beliebig kleine Werte von — (also auch kleinere 
n
	        
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