284 T 7 . Kapitel. Bechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen.
die Zahl der Erfolge zwischen ¡i 0 — X und ¡i 0 + X liegt, gleich der
Summe
S i— w Ho-t + w ko-*+i^ ^ w ,u 0 -\ + «^„ + *-1 + W Mo+X*
zu setzen ist.
De Moivre, Stirling und Laplace ist es gelungen, für große
Werte von n diese Summe näherungsweise durch einen geschlossenen
Ausdruck, nämlich ein bestimmtes Integral, darzustellen. Auf die
Ableitung der betreffenden Formel können wir hier nicht eingehen
(vgl. z. B. das unter A, S. 267 zitierte Lehrbuch von E. C zuber); wir
wollen aber die wichtigen, aus ihr zu ziehenden Folgerungen mitteilen:
1
1. Wenn für — ein fester (beliebig kleiner) Wert gegeben ist, so
kann man durch hinreichend große Werte von n die Summe S X} .
welche die Wahrscheinlichkeit darstellt, daß die Anzahl der Er
folge von dem Produkte nw um nicht mehr als X abweicht,
dem Werte 1 beliebig nahe bringen.
2. Wenn ein fester, der Zahl 1 beliebig nahe kommender echter
Bruch co gegeben ist, so kann man durch genügend große Werte
von n erreichen, daß auch schon bei beliebig kleinen Werten
X .
von — die Wahrscheinlichkeit S,= c3 wird 1 ).
n KJ
Das in diesem Abschnitt D Yorgetragene bildet, bis auf die hier
fehlende genauere quantitative Bestimmung, den wesentlichen Inhalt
des Theorems von Jakob Bernoulli, welcher in seiner Ars con
jectandi (Basel 1713) diese Untersuchung -zwar noch nicht zum end
gültigen Abschluß gebracht, sie doch aber in Angriff genommen und
ziemlich weit geführt hat. Das Bernoullische Theorem bezeichnet
man auch als das „Gresetz der großen Zahlen“, wenngleich
Poisson, der diesen Namen eingeführt hat, darunter eigentlich etwas
anderes, nämlich die Verallgemeinerung des Bernoullischen Satzes
für den Fall verstand, daß die Wahrscheinlichkeit w bei den aufein
anderfolgenden Versuchen verschiedene Werte annimmt.
1) ln dem vorher durchgerechneten Zahlenbeispiel war n — 1200, Ä = 15,
l 1
Sj = 0,77. Halten wir den Wert ■—= — fest, so können wir durch Yergröße-
K 'V). Xi)
n 80
rung von n die Wahrscheinlichkeit der Zahl 1 beliebig nahe bringen. Bleiben
wir aber bei der Wahrscheinlichkeit 0,77, so können wir durch Vergrößerung
l /
von n erreichen, daß schon für beliebig kleine Werte von — (also auch kleinere
n