§ 7 JE, I. Bayes sehe Hegel. 
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Um zu zeigen, daß eine solche aposteriorische Wahrscheinlich- 
keitshestimmung durchaus keine besonderen Annahmen nötig macht*), 
kann man die Lösung der allgemeinen Aufgabe an der folgenden 
schematischen erläutern: 
Man habe n gleichartige Urnen ü t , U 2 , . . ., U n , deren jede 
s Kugeln enthalte. Yon den s Kugeln der v ten Urne (y — 1, 2, n) 
seien a v weiß, so daß die Wahrscheinlichkeit, aus ihr eine weiße 
Kugel zu ziehen, w v —°j- ist. Jemand hat nun aus irgend einer der 
Urnen irgend eine Kugel herausgenommen; es stellt sich heraus, daß 
diese gezogene Kugel weiß ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 
daß sie aus der bestimmten Urne ü r stammt? 
Wie man sieht, werden die n Ursachen der allgemeinen Aufgabe 
durch die n Urnen repräsentiert. Die apriorische Wahrscheinlichkeit 
jeder der n Ursachen ist hier die gleiche ; denn die Wahl jeder 
Urne ist gleichmöglich. Für die Lösung der Aufgabe dürfen wir, 
weil alle Urnen gleich viel Kugeln enthalten, nach C, IV, Schluß der 
Aufgabe 2, S. 278, ohne das Resultat zu ändern, uns alle Kugeln in 
einer Urne vereinigt denken, wobei aber die aus der v ten stammenden 
das Zeichen v (y = 1, 2,. .., «) tragen sollen. Wir wissen, daß die 
gezogene Kugel weiß war, also werden die sämtlichen möglichen Fälle 
durch die sämtlichen weißen Kugeln, deren Anzahl a x -f- V h a n 
beträgt, repräsentiert. Günstig für die Ursache U r sind nur die aus 
der Urne U r stammenden a r weißen Kugeln. Also beträgt die ge 
suchte Wahrscheinlichkeit, daß die gezogene weiße Kugel der Urne 
U r entstammt, 
W = JZH 
r «1 + a 2 + V a n 1 
oder, wenn wir Zähler und Nenner durch s teilen und — = w setzen, 
s v y 
Diese, als Bayessche Regel bezeichnete, Formel stellt zugleich die 
Lösung der allgemeinen Aufgabe a) dar. 
Zur Erledigung des Falles b), daß vor dem Eintreffen von E 
das Wirksam werden der n Ursachen eine verschiedene Wahrscheinlich 
keit, das Wirksamwerden von U v etwa die Wahrscheinlichkeit co v be 
sitzt (y — 1, 2, . . ., n), brauchen wir die schematische Aufgabe nur 
ein wenig abzuändern. Wir denken uns von vornherein in einer 
1) Wie z. B. die, daß die gesuchte aposteriorische Wahrscheinlichkeit der 
apriorischen proportional sei.