10 
I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
Summanden sofort erschlossen werden kann, sobald nur die Richtig 
keit der Gleichungen (I) und (II) feststeht. Um in den verschiedenen 
Eällen später darauf verweisen zu können, wollen wir diesen Satz schon 
jetzt begründen, wenn er auch für die Addition der natürlichen Zahlen 
nach dem Vorhergehenden überflüssig ist. 
Zum Beweise bedienen wir uns eines oft anzuwendenden Schluß 
verfahrens, welches man als den Schluß von n auf n -fl oder die 
Methode der vollständigen Induktion bezeichnet. 1 ) Wenn man 
erstens weiß, daß eine Aussage, in welcher eine unbestimmte Zahl x 
vorkommt, für x = n + 1 sicher richtig ist, sobald ihre Gültigkeit 
nur für x = n feststeht, wo n irgend eine beliebige natürliche Zahl 
bedeutet, und wenn man zweitens weiß, daß die Aussage wahr ist 
für x = a, wo a eine bestimmt^ natürliche Zahl bezeichnet, so 
schließt man, daß der Satz auch richtig bleibt, wenn man für x irgend 
eine natürliche Zahl einsetzt, die größer als a ist. Die Bündigkeit 
dieser Schlußmethode beruht auf der Tatsache, daß jede Zahl, die 
größer als a ist, durch wiederholte Addition von 1 zu a erhalten 
werden kann. 2 ) 
a i> a 2> a 3> ■ • • mögen Elemente eines Systems von Größen sein 
(an dieser Stelle bezeichnen also die Buchstaben nicht nur natürliche 
Zahlen), für welche die Summe zweier qls bestimmte Größe desselben 
Systems definiert ist, und für welche der Satz gilt: „Sind zwei Größen 
einer dritten gleich, so sind sie untereinander gleich.“ Wir zeigen 
zunächst, daß, wenn für irgend drei Größen dieses Systems das asso 
ziative Gesetz gilt, es auch für beliebig viele von ihnen richtig ist. 
Angenommen, das Gesetz stehe schon fest für 3, 4, 5,... n Sum 
manden, d. h. wir setzen voraus, daß, wenn wir in einer Reihe von 
höchstens n Größen, ohne jemals ihre Reihenfolge zu verändern, be 
liebig viele Paare aufeinanderfolgender summieren, sodann zwei solche 
aufeinanderfolgenden Summen, resp. eine solche Summe und eine be 
nachbarte einzelne Größe, resp. zwei benachbarte einzelne Größen 
durch Addition verbinden und so fortfahren, bis endlich die beiden 
zuletzt erhaltenen Teilsummen (bezüglich eine Summe und ein einzelnes 
1) Diese Methode ist zuerst von Maurolycus aus Messina in seiner Arith 
metik (1575) angewendet worden. Von ihm hat Pascal (1662), der eine Zeit 
lang als Erfinder dieses Schlußverfahrens galt, es erst kennen gelernt. Ygl. 
Zeitschr. f. mathemat.-ijaturwissenschaftl. Unterricht, Bd. 33 (1902), S. 536. 
2) Da jede Zahl, die größer als a ist, sich aus a durch Hinzufügung irgend 
z Summanden 
einer natürlichen Zahl z herleiten läßt und da a -f- z = a -f- (1 -(- 1 -f- • ■ • -)- 1), 
so setzen wir hier schon (und nach dem Yorhergesagten sind wir dazu berechtigt) 
das assoziative Gesetz für den speziellen Fall a -)- (1 -f- 1 fl- • • • fl- 1) 
= «-fl-J-l-|---- + l voraus.