Die irrationalen Zahlen 1 ). 
§ 1. Einleitung. 
Definition und Größenvergleiclmiig der irrationalen Zahlen. 
Im Gebiete der rationalen Zahlen sind, wie schon im Anfänge 
des vorigen Kapitels gesagt worden ist, die vier Grundoperationen: 
Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren (mit alleiniger Aus 
nahme der Division durch Null) stets ausführbar, im allgemeinen aber 
nicht mehr das Radizieren einer beliebigen positiven Zahl und das 
Logarithmieren einer beliebigen positiven Zahl für eine beliebige 
positive Basis (vgl. Kap. II, § 5C u. D, S. 92 u. 96). Für alle An 
wendungen der Arithmetik ist dieser Mangel unerheblich; denn, wenn 
auch aus einer vorgelegten positiven Zahl die w te Wurzel nicht ge 
zogen werden kann, so lassen sich doch stets w te Potenzen rationaler 
Zahlen angeben, die sich von der vorgelegten Zahl beliebig wenig 
unterscheiden (vgl. Kap. II, § 5 C, S. 95), und ebenso können wir 
Numerus und Basis durch Hinzufügung oder Wegnahme beliebig kleiner 
Zahlen so abändern, daß für die neue Basis der Logarithmus des 
neuen Numerus wirklich existiert (Kap. Y, § 5 B, S. 241), und da es 
sich bei allen Anwendungen der Arithmetik, wie schon wi äderholt 
hervorgehoben wurde, niemals um absolute Genauigkeit, sondern immer 
nur darum handelt, daß der begangene Fehler eine gewisse Grenze 
nicht überschreitet, sind die erwähnten Abänderungen für das praktische 
Rechnen durchaus zulässig. Tatsächlich operieren auch Physik, Astro 
nomie, Technik, kaufmännisches Rechnen usw. immer nur mit den 
rationalen Zahlen 2 ). 
1) Diesem Kapitel ist zugrunde gelegt die Programmabhandlung des Yerf.: 
Irrationale Zahlen und Verhältnisse inkommensurabler Größen. Luisensiädt. 
Oberrealschule zu Berlin, 1900. 
2) Daß auch die theoretische Arithmetik, Algebra und Analysis mit den 
rationalen Zahlen (sogar mit den positiven ganzen Zahlen) auskommen sollen, 
fordert L. Kronecker. In dem Aufsatze „Über den Zahlbegriff“ (J. f. Math., 
Bd. 101, S. 387) zeigt er, worin bei ausschließlicher Verwendung der rationalen 
Zahlen die Existenz der Wurzeln einer beliebigen algebraischen Gleichung 
besteht.