§ 1. Einführung monotoner Doppelreihen. 
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bezüglich 
4 . 
9 < 
19 . 
38 . 
77 
16 ’ 
32’ 
64 ’ 
128 ’ 
256 
5 _ 
10 . 
20 . 
39 
78 
16’ 
'32 ’ 
64’ 
128 ’ 
256 
haben folgende Eigenschaften: 
In dem ersten Teil der Doppelreihe ist jedes Glied größer als 
das vorhergehende oder gleich demselben, im zweiten Teil ist jedes 
Glied kleiner als das vorhergehende oder gleich demselben 1 ). Irgend 
ein Glied der zweiten Hälfte ist größer als irgend eins der ersten, 
und der Unterschied zweier entsprechenden Glieder beider Hälften wird, 
je weiter man in der Reihe fortschreitet, immer kleiner und kann 
schließlich beliebig klein gemacht werden. 
Wir betrachten nunmehr allgemein Doppelreihen 
/ a l7 $ 2 , . . ., a n , . . A 
X-Tj, • • •; • • •/ 
die aus unbegrenzt vielen rationalen Zahlen 
^2; * • • 7 ®nl ■ • A i? A 2? • • • > A ni - • • 
bestehen, welche für alle Werte von n den Ungleichungen genügen: 
a n^ a n + i< Ä n+i< Ä n> 
während nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Zahl d sich 
stets eine ganze positive Zahl N so angeben läßt, daß für nf>N 
Ä n - a n < d ■ 
Eine derartige Doppelreihe wollen wir kurz durch das Symbol (a w ; Ä n ) 
bezeichnen. Es kann Vorkommen, daß zu einer bestimmten Doppel 
reihe (<x B ; A n ) sich eine rationale Zahl a derart finden läßt, daß für 
jeden beliebigen Wert von n 
a n< a < A n' 
Ist z. B. 
(n Dezimalstellen) 
111 
und 
a n~ 0,8 3 ... 3 3 3 3 10?t 
(n Dezimalstellen) 
4.= 0,33 34-i + l-jlf, 
1) Reihen von dieser Beschaffenheit bezeichnet man als „monoton“.