296
VI. Kapitel. Die irrationalen Zahlen.
so hat man für alle Werte von n
a n < a n+i <Y< Ä n + i <
während
durch hinreichend große Werte von n beliebig klein gemacht werden
kann; also wird a = -^-* Niemals können zwei verschiedene rationale
Zahlen a, a' zu einer Doppelreihe in dieser Beziehung stehen;
denn aus
a n < A n und a n <a< A n
würde für beliebige Werte von n folgen:
| a' - a | <; A n - a n .
Da sich die rechte Seite durch hinreichend große Werte von n be
liebig klein machen läßt, kann die linke Seite keinen von Null ver
schiedenen Wert haben.
Jedesmal, wenn eine solche rationale Zahl a existiert,
daß für alle Werte von n
a n<“<A>
wollen wir diese Zahl a als Wert der Doppelreihe (a n - A n )
betrachten.
Umgekehrt lassen sich jeder rationalen Zahl a derartige Doppel
reihen zuordnen; z. B. die Doppelreihe
(<x; a) oder { a ~~\ °> + -~) usw.
Nun gibt es aber auch Doppelreihen {a n \ A n ), welchen keine
rationale Zahl a derart entspricht, daß für alle n
a n^ a ^A,
z. B. die vorher schon angeführte Doppelreihe, welche der Algorithmus
zur Aufsuchung von Zahlen, die ]/3 ersetzen sollen, liefert. Gäbe es
nämlich für diese Doppelreihe eine derartige rationale Zahl a, so
würde aus
folgen:
a n < a < A
oA^a 2 <A n 2 .