Full text: Arithmetik (1. Teil, 1. Band)

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VI. Kapitel. Die irrationalen Zahlen. 
so hat man für alle Werte von n 
a n < a n+i <Y< Ä n + i < 
während 
durch hinreichend große Werte von n beliebig klein gemacht werden 
kann; also wird a = -^-* Niemals können zwei verschiedene rationale 
Zahlen a, a' zu einer Doppelreihe in dieser Beziehung stehen; 
denn aus 
a n < A n und a n <a< A n 
würde für beliebige Werte von n folgen: 
| a' - a | <; A n - a n . 
Da sich die rechte Seite durch hinreichend große Werte von n be 
liebig klein machen läßt, kann die linke Seite keinen von Null ver 
schiedenen Wert haben. 
Jedesmal, wenn eine solche rationale Zahl a existiert, 
daß für alle Werte von n 
a n<“<A> 
wollen wir diese Zahl a als Wert der Doppelreihe (a n - A n ) 
betrachten. 
Umgekehrt lassen sich jeder rationalen Zahl a derartige Doppel 
reihen zuordnen; z. B. die Doppelreihe 
(<x; a) oder { a ~~\ °> + -~) usw. 
Nun gibt es aber auch Doppelreihen {a n \ A n ), welchen keine 
rationale Zahl a derart entspricht, daß für alle n 
a n^ a ^A, 
z. B. die vorher schon angeführte Doppelreihe, welche der Algorithmus 
zur Aufsuchung von Zahlen, die ]/3 ersetzen sollen, liefert. Gäbe es 
nämlich für diese Doppelreihe eine derartige rationale Zahl a, so 
würde aus 
folgen: 
a n < a < A 
oA^a 2 <A n 2 .
	        
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