§ 1. Definition der irrationalen Zahlen. 
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Da andererseits aber auch 
aJ<3<Ä n *, 
so müßte 
i a 2 — 3 I < AJ — aj 
für alle Werte von n sein. Die rechte Seite sinkt mit wachsendem 
n unter jede angebbare Größe, also könnte der feste Wert |a 2 — 3| 
nur gleich Null sein, d. h., es gäbe eine rationale Zahl, deren Quadrat 
gleich 3 wäre, was bereits (Kap. II, § 5 C, S. 92) als unmöglich 
nachgewiesen ist. 
Auch von allen Doppelreihen (a„; A n ), bei welchen 
a n^ a n+t< A n+x< A n 
und A n — a n durch hinreichend große Werte von n beliebig klein ge 
macht werden kann, ohne daß eine rationale Zahl existiert, die der 
Bedingung a n a < A n (für alle Werte von n) genügt, werden wir 
im folgenden zeigen, daß sie bei geeigneter Definition für die Gleichheit 
und für das Größer- bezüglich Kleinersein sich in eine bestimmte, feste 
Ordnung zueinander und zu den rationalen Zahlen bringen lassen, und 
daß bei passender Erklärung der Rechnungsarten man mit ihnen ebenso 
operieren kann wie mit den rationalen Zahlen. Wir bezeichnen 
deshalb diese Doppelreihen auch als Zahlen, und zwar, da 
sie eine rationale Zahl nicht zum Werte haben, als „irratio 
nale Zahlen“. Die Auffassung solcher Doppelreihen als Zahlen ist 
natürlich ein willkürlicher Akt unseres Intellekts, welcher aber durch 
den § 8 ausführlich zu erbringenden Nachweis weiter gerechtfertigt 
werden wird, daß die so definierten irrationalen Zahlen ebenso wie 
zunächst die natürlichen und dann auch die gebrochenen und die ne 
gativen Zahlen das vollkommene Abbild gewisser Beziehungen zwischen 
Dingen der Außenwelt darstellen 1 ). Es wird sich als möglich erweisen, 
1) Gr. Cantor (Math. Ann. Bd. 21, S. 562) unterscheidet zwei Arten, in denen 
von der Realität der Zahlbegriffe gesprochen werden kann. Einmal, sagt er, 
dürfen wir die Zahlen insofern als wirklich ansehen, als sie auf Grund von De 
finitionen in unserm Verstände einen ganz bestimmten Platz einnehmen, von 
allen übrigen Bestandteilen unseres Denkens aufs beste unterschieden werden 
und zu ihnen in bestimmter Beziehung stehen. Diese Art der Realität bezeichnet 
Cantor als immanente. Dann könne aber auch den Zahlen insofern Wirk 
lichkeit zugeschrieben werden, als sie für einen Ausdruck oder ein Abbild von 
Vorgängen und Beziehungen in der dem Intellekt gegenüberstehenden Außen 
welt gehalten werden müssen. Diese zweite Art der Realität nennt Cantor die 
transiente. Der oben angedeutete Nachweis wird uns die Überzeugung ver 
schaffen, daß den jetzt definierten irrationalen Zahlen in diesem Sinne nicht nur 
die immanente, sondern auch die transiente Realität zukommt. Vgl. hierzu auch 
H. Hankel, Theorie der komplexen Zahlensysteme, Leipzig 1867, § 2, S. 7.