§ 3. Addition. 
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■Glied) durch Addition zu einer Größe vereinigt werden, das End 
ergebnis bei allen zulässigen Arten der Summenbildung dasselbe ist. 
Wir dürfen alsdann jede nach einer der erlaubten Methoden gebildete 
Summe der r Größen a 1; a. 2 , ... a r (r bedeutet irgend eine der Zahlen 
3, 4,. , . n) durch das gleiche Symbol 4- a 2 + • • • -f- a r bezeichnen. 
Unter allen in der angegebenen Art aus (n-f 1) Größen a 2) ...a n + 1 
zu bildenden Summen könnten dann nur noch die folgenden von 
einander verschieden sein: 
~ a i + ( a 2 + a 3 + ' ' ' + °n + l)> 
S 2 = ( a i + a %) + (% + *•' + a n + l)> 
S v = ( a i + « 2 H + <0 + ( a v + l + b a n +l)? 
S r + 1 = («1 + ‘ ' ' + a v + a r + l) + ( a v + 2 + b a n + l)> 
S n —(%+%+••• + a n) + a n +1 ■ 
Daß aber tatsächlich je zwei aufeinanderfolgende, also (nach der für 
das Größensystem gemachten Voraussetzung) alle untereinander gleich 
sind, erkennt man leicht folgendermaßen: 
Man setze zur Abkürzung 
«1+« 2 H ha v =A v und a v+2 -j b a n+1 = B r+2 ; 
alsdann ist 
s v == A v + {a v+l + S v+2 ). 
Nach der für drei Größen gemachten Voraussetzung folgt hieraus 
s v = (Ä v + a v+1 ) + B v+2 = s v+1 . 
Nach dem Satze von der vollständigen Induktion ergibt sich also 
jetzt die Gültigkeit des assoziativen Gesetzes für beliebig viele Größen 
des Systems a lf a 2 , . . .. 
Wir beweisen nunmehr, daß, wenn für drei (also auch für be 
liebig viele) Größen unseres Systems das assoziative und für zwei 
das kommutative Gesetz gilt, das letztere auch für beliebig viele 
richtig ist. Da, wie leicht ersichtlich, die Vertauschung zweier be 
liebigen Summanden auf wiederholte Vertauschungen zweier benach 
barten zurückgeführt werden kann, so brauchen wir nur zu zeigen, 
daß die beiden Summen 
s — + «2 + • • * + a v-i + 0> v + a v + i + a v + 2 “b • ' • + a n 
und 
s = a x + a 2 + • • • + ct v _ x +■ a v+1 + a v -f- a v+2 + ••• + №„ 
•einander gleich sind.