§ 1. Größenvergleichung der irrationalen Zahlen. 
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und jede rationale Zahl, die kleiner (bezüglich größer) als ß ist, auch 
kleiner (bezüglich größer) als a ist, oder, was auf dasselbe hinaus- 
kommt, wenn es keine rationale Zahl gibt, die kleiner als die eine 
und größer als die andere irrationale Zahl ist. 
Aus dieser Definition ergibt sich sofort der Satz, daß, wenn ß = a 
und a = y, auch ß = y ist. Denn aus ß = a folgt, daß jede rationale 
Zahl r, die kleiner als ß ist, auch kleiner als cc sein muß, und aus 
a = y ergibt sich weiter, daß sie auch kleiner als y ist. Ebenso sieht 
man, daß jede rationale Zahl, die kleiner als y, auch kleiner als ß 
sein muß, woraus ß = y folgt. 
Wenn es eine rationale Zahl r gibt, die größer als a und gleich 
zeitig kleiner als ß ist, so sagen wir, a sei kleiner als ß oder ß größer 
als a. Alsdann kann es nicht etwa eine andere rationale Zahl r 
geben, so daß /<a und r' >/3; vielmehr ist dann jede rationale 
Zahl r, die kleiner als a ist, auch kleiner als ß. Denn aus /< a 
folgt r < a n von einem bestimmten Werte von n an, aus r>a er 
gibt sich aber r > A n von einem bestimmten Werte des Index an. 
Da nun alle A n größer als irgend ein a n sind, so muß r > r, wegen 
r < ß also auch r < ß sein. Ebenso folgt, daß jede rationale Zahl, 
die größer als ß, auch größer als a ist. Die Definition für die 
Größenbeziehung zweier irrationalen Zahlen ist also wirklich eine 
bestimmte. Aus ihr erschließt man leicht den Satz, daß, wenn cc > /3 
und ß > y, notwendig a > y sein muß. Die Voraussetzung ergibt 
nämlich die Existenz rationaler Zahlen r und r', so daß a >■ r >- ß 
und ß >• r' > y, woraus zunächst r > r' und dann a > y folgt. 
Durch die getroffenen Festsetzungen sind nunmehr die irrationalen 
Zahlen in eine bestimmte Ordnung zueinander und' zu den rationalen 
Zahlen gebracht. Beide Kategorien von Zahlen bilden vereinigt die 
Gesamtheit der reellen Zahlen. Jede reelle Zahl kann als Wert einer 
Doppelreihe angesehen werden. 
Aus den für die Gleichheit und die Ungleichheit zweier irratio 
nalen Zahlen aufgestellten Definitionen können wir noch Kriterien her 
leiten, welche es gestatten, die Frage der Gleichheit bezüglich Un 
gleichheit ausschließlich mittels derjenigen rationalen Zahlen zu ent 
scheiden, welche bereits in den die irrationalen Zahlen definierenden 
Doppelreihen Vorkommen. Wenn a = (a w ; A n ) und ß = (h n ,- Jß n ?) uud 
wenn jedes a n kleiner als irgend ein JB n , ist, so können wir zunächst 
den Schluß ziehen, daß a nicht größer als ß sein kann. Denn wäre 
etwa a > ß, so müßte eine rationale Zahl r existieren, so daß r < a 
und r>/3; es müßte also einerseits r kleiner sein als alle a n von 
einem bestimmten Werte des Index an und andrerseits größer als alle 
S n , von einem bestimmten Werte des Index an. Diese Folgerung steht 
aber mit der gemachten Voraussetzung in Widerspruch; falls a n < JB n ,