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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
Setzt man wieder zur Abkürzung 
a i + -}- • • • -f a v _ x — A v _ 1 und a„ +2 -f • • • -f a n = B v+2 , 
so ist 
s ' = A-i + i a v+i + a v) + Bv+2> 
oder, da nach der Voraussetzung 
a v + l+ a v= =a v+ a v + l, 
s'= A v _ 1 + (a v + Ct v+ 1) + -ß v +2? 
also s' = s. 1 ) 
Damit ist also für unser Größensystem (a 17 a 2 , . . .) unter den 
gemachten Voraussetzungen der Satz bewiesen: 
„Wenn man aus einer Reihe von beliebig vielen Größen 
des Systems irgend eine Anzahl herausgreift und in be 
liebiger Reihenfolge zu einer Summe vereinigt und diese 
Summe statt der herausgegriffenen Glieder in die Reihe 
einfügt, so erhält man eine Reihe von weniger Gliedern als 
vorher, auf welche sich das nämliche Verfahren anwenden 
läßt. Fährt man so lange fort, bis man statt der ursprüng 
lichen Reihe nur noch eine einzige Größe hat, so ist diese 
die Summe der gegebenen Größen und ihr Wert vollkommen 
unabhängig von der Art der Summenbildung.“ 2 3 ) 
C. Sätze über Ungleichungen. 
Aus dem soeben bewiesenen Satze ergeben sich eine Reihe von 
Folgerungen in bezug auf Ungleichungen. 
I. Wenn 
s = + « 2 d“ ’ ‘ ’ + a v-i + u v + a v + i + • • • * + a n > 5 ) 
so kann s auch in der Form 
s = a v + A v 
geschrieben werden, wenn A v die Zahl 
% + $2 + • ' • + Q> v -1 + a v +1 + • • • + a n 
bezeichnet, d. h. aber (nach der am Schlüsse des § 2 gegebenen De 
finition) 
s > a v , 
1) Der Beweis, daß man auch das erste, bezüglich das letzte mit dem be 
nachbarten Gliede vertauschen darf, ist im wesentlichen derselbe. 
2) Der Satz findet sich in ähnlicher Fassung bei E. Schröder, Lehrbuch 
der Arithmetik u. Algebra, S. 60. Über die Anzahl der verschiedenen Möglich 
keiten, eine Summe aus beliebig vielen Gliedern zu bilden, vgl. Kap. Y, § 1 D. 
3) Die Buchstaben bezeichnen jetzt wieder natürliche Zahlen.