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§ 8. Korrespondenz zioischen Grüßen- und Zahlen-Relationen. 325 
@ St ist. Hat man z. B. — < a, so folgt für hinreichend große 
Werte von m 
4<ü; 
2 m! 
also auch ~-(£ < @ < 3i usw. 
Aus 3( = 35 ergibt sich selbstverständlich (31, @) = (93, @); denn 
die zur Bestimmung der beiden Yerhältniszahlen dienenden Ketten 
bruchentwicklungen sind identisch. 
Wenn 31 > 33, so gibt es stets rationale Zahlen — (und zwar 
unendlich viele), so daß 
31 > @ > 33 
Man braucht 1 ) nämlich eine ganze Zahl q nur so zu wählen, daß 
gleichzeitig 
3t — 33) > (S und q 33>@ 2 ), 
und dann die positive ganze Zahl p so zu bestimmen, daß 
(p-l)@^g33<i?e. 
Aus der letzten Ungleichung folgt schon: 
aus 
ergibt sich: 
und, weil 
auch 
Die Größenrelationen 
— (£ > 33; 
q ’ 
g (3i — 35) > (S 
S(>S8 + i® 
2 
33i>^—— 
— q ’ 
q 
a>fe, f®>» 
1) Nach Stolz, "Vorlesungen über allgemeine Arithmetik, I. Teil, 5. Ab 
schnitt, S. 71. 
2) Die Möglichkeit, q diesen Ungleichungen entsprechend zu bestimmen, 
setzt für unser Größensystem die Gültigkeit des Archimedischen Axioms 
voraus, welches besagt, daß, wenn von zwei Größen (£, 3) des Systems 3) die 
kleinere ist, doch stets ein Vielfaches von 3) existiert, das größer als (£ ist.