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VI. Kapitel. Die irrationalen Zählen. 
also gleich dem Quotienten ihrer Verhältniszahlen in bezug 
auf irgend eine als Einheit gewählte Größe des Systems. 
Mit Benutzung dieses Satzes läßt sich jetzt leicht zeigen, daß 
(»3l, w33) = (3t, 33), 
(35, 31) = 1: (3t, 33) usw., 
daß überhaupt die beiden Glieder eines Verhältnisses den 
selben Gesetzen gehorchen wie Zähler und Nenner eines 
Bruches, wodurch die für das Verhältnis sonst übliche Schreibweise 
St: 33 oder ^ erst gerechtfertigt wird. 
Aus der Gleichheit zweier Größenverhältnisse („Proportion“ ge 
nannt) 
(IX) (3t, 33) = (®, 2)) 
folgt nun auch unmittelbar die Gleichheit der beiden Zahlenquotienten 
(3t, ®) : (SB, ®) = ((£, <S) : (®, ®) 
oder 
(X) a: ß = y : d 
und umgekehrt, nach willkürlicher Wahl von (£ aus Gleichung (X) 
auch Gleichung (IX). 
Wegen der Äquivalenz dieser beiden Gleichungen ergehen sich 
die Sätze über Gleichungen zwischen Verhältnissen irgend welcher 
Größen (Vertauschung der Innenglieder, der Außenglieder einer Pro 
portion usw.), wie sie zuerst Euklid im fünften Buche seiner Ele 
mente 1 ) entwickelt hat, jetzt sofort aus denselben Sätzen für die ent 
1) Euklid gibt daselbst eine ausführliche Darstellung der Lehre von den 
Verhältnissen, ohne aber eine wirkliche, mathematisch brauchbare Definition des 
Begriffes „Verhältnis“ aufzustellen. Dagegen definiert er: Die beiden Verhältnisse 
(81, @) und (85, (£') (wo 83, (£' zwar auch untereinander gleichartig sind, aber nicht 
von derselben Art zu sein brauchen wie 8i, @) sollen einander gleich heißen, 
wenn für alle positiven ganzen Zahlen p, q aus q%^p& auch g83^p®' folgt, 
und (21, @) soll größer als (83, (£') genannt werden, wenn man wenigstens ein 
Paar ganzer Zahlen p, q finden kann, für welche gleichzeitig g21^>jo@ und 
g83 Ausschließlich auf Grund dieser Definitionen beweist Euklid im 
sechsten Buche der Elemente in einfacher Weise und mit vollkommener Strenge 
den Satz, daß zwei Dreiecke mit gleichen Höhen sich wie ihre Grundlinien ver 
halten, woraus sich sofort der Lehrsatz von der Proportionalität der auf zwei 
Strahlen durch parallele Linien gebildeten Abschnitte ergibt, auf welchem die 
ganze Ähnlichkeitslehre einwandfrei aufgebaut werden kann. — Die Euklidi 
schen Definitionen für die Gleichheit bezüglich Ungleichheit zweier Verhältnisse