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VII. Kapitel. Die komplexen Zahlen. 
irrationalen Zahlen (ygl. Kap. II, § 4, Kap. IV, § 5 A und Kap. VI, § 4). 
Es wird sich also nur um die Frage handeln können, ob es möglich 
ist, ein Rechnungsverfahren zur Herleitung einer Zahl c aus zwei ge 
gebenen Zahlen 
(l CC± -(- CC 2 62 , h = /3] £?i -(- ß 2 62 
aufzufinden, welches wir aus dem Grunde berechtigt sind, auch „Mul 
tiplikation“ zu nennen, weil es erstens in dem speziellen Falle 
«2 = 0 > ßt = 0 
in die früher definierte Multiplikation übergeht, und weil zweitens 
bei ihm die für die Multiplikation der bisher eingeführten Zahlen 
bewiesenen Regeln sämtlich gültig bleiben. Die letztere Forderung 
ist erfüllt (vgl. Kap. I, § 5C), falls die drei als kommutatives, asso 
ziatives und distributives Gesetz bezeichneten Gleichungen befriedigt 
werden. Damit wir bei der Multiplikation nicht aus unserem Zahl 
bereiche herauskommen, setzen wir weiter fest, daß das Produkt zweier 
beliebigen komplexen Zahlen wieder eine komplexe Zahl der Form 
y i e 1 + Z2 e 2 se G wo Ti> 72 reelle Koeffizienten bedeuten 1 ). Was für 
beliebige komplexe Zahlen gelten soll, muß natürlich auch für die 
Einheiten e lf e 2 zutreffen. Deshalb setzen wir: 
c^ e.y -f- Z 2 ß 2 , 
(II) e 1 e 2 = ß 2 ^2 > 
e 2 e 2 = v i e 1 -j- v 2 e 2 , 
wo die auf den rechten Seiten auftretenden Koeffizienten zunächst 
irgend welche reellen Zahlen sind, und 
( a x e i) ißi e i) ~ ( a ißi) ( e i ß i) ~ ( a ißi) i^i e i "h ^-2^2) > 
(III) (°ü e i) iß2^2) = (°h^2) ( e i^2) = (°ußz) C a i~h №2^2)} 
(a 2 e 2 ) (ß 2 e 2 ) = (cc 2 ß 2 ) (ß 2 ß 2 ) — (& 2 ß 2 ) ( v i ß i “h v 2 e i) • 
Wir haben nun die Aufgabe, zu untersuchen, ob wir die Koeffi 
1) Diese Festsetzung ist keine notwendige. H. Graßmann hat in seiner 
Ausdehnungslehre „Multiplikationen“ definiert, bei welchen das Produkt von 
anderer Natur ist als die Faktoren. Vgl. neben den sonstigen Arbeiten Graß- 
manns insbesondere seinen Aufsatz „Sur les divers genres de multiplication“, 
Journ. f. Math., Bd. 49, S. 123. H. Hankel (Theorie der komplexen Zahlen 
systeme, S. 106) nennt ein System komplexer Zahlen, welches die obige For 
derung befriedigt, ein „begrenztes“ System.