§ 2B. Definition des Produktes zweier komplexen Zahlen. 343 
zienten l 12 X 2 , (i 1} p 2 , v x , v 2 so bestimmen können, daß für das Pro 
dukt zweier beliebigen komplexen Zahlen 
Ct ~ C^i^i fi" ) b ~ ßl fi" Ai ^2 
die yorber aufgestellten Forderungen sämtlich erfüllt werden. Jedem 
Wertsystem der Koeffizienten X, fi, v entspricht eine bestimmte Mul 
tiplikation, und durch die Art und Weise der Produktbildung unter 
scheiden sich die verschiedenen möglichen Systeme komplexer Zahlen. 
Allerdings kann zwei verschiedenen Wertsystemen der X, p-, v doch 
sehr wohl dasselbe System komplexer Zahlen entsprechen, weil ja bei 
dem Übergänge zu anderen Einheiten innerhalb desselben Systems 
sich auch die Multiplikationskoeffizienten ändern 1 ). 
Da auch das distributive Gesetz erhalten bleiben soll, müssen wir 
das Produkt der beiden Zahlen 
G/ — cc^Ci cc^e^ j b — ßic, -f* ß%e 2 
bilden können, indem wir jedes Glied der einen Summe mit jedem 
der andern multiplizieren. 
Es muß also sein: 
ab — { a ißi) (ßx^i) fi - ß%) ( e 1^2) fi" fasßi) (, e 2 e i) fi" ( e 2^2) 
= i^ißx) i^i e i~\~^2 e 2)~^~{ CC lß2~^~ Ci 2ßl)(.l l i e i fi"1*2 e 2) fi"(^2^2) ( V l®lfi- V 8®ä)j 
also: 
(IY) ab = («ißi Ai + («1A2 + + ctvßzv^ei 
+ (aißth + («1^2 + «2i3i)i*2 + a%ßzvz)et. 
Die vorhergehenden Entwicklungen hatten nur den Zweck, zu 
zeigen, wie wir zur Gleichung (IY) gelangen. Nunmehr definieren 
1) Wenn z. B. 
a = 3 e, e 2 , b — 5 e, -j- 2 e 2 
als neue Einheiten eingeführt werden, so ist 
ab — 15 (h e, -J- Ä 2 e 2 ) + 11 (g, e, -f- fi 2 e 2 ) + 2 (r, e, -f- v 2 e 2 ) 
= (ISA, 11 fi, fi- 2v 1 )e 1 -f- (15Ä 2 -p llfi 2 -f- 2i> 2 )e 2 , 
e, = 2 a — b, e 2 — — 5a-f3&, 
ab = fi,'a -p p 2 'b , 
■fi,' = 30t, -f- 22fi, -j- 4v, — 75/l 2 — ööfig — lOvg, 
oder, weil 
wo jetzt 
fig' = — 15X, — Hg, — 2v, -p 45-f- 33fi 2 -{- 6v 2 
natürlich im allgemeinen von fi,, fi 2 verschieden sind, trotzdem daß wir es mit 
demselben System komplexer Zahlen zu tun haben.