VII. Kapitel. Die komplexen Zahlen. 
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wir die rechte Seite von (IV) als das Produkt der beiden be 
liebigen komplexen Zahlen 
a = c' 1 e 1 + a 2 e 2 , b = ß 1 e 1 + ß 3 e 2 • 
In (IY) sind (II) und (III) als Spezial! alle enthalten. Die Definition 
wird natürlich erst dann zu einer bestimmten, wenn den Koeffizienten 
A, [i, v bestimmte Werte beigelegt werden. 
Da die rechte Seite von (IY) ungeändert bleibt, wenn man a x 
mit ß x und cc 2 mit ß 2 vertauscht, so ist, gleichgültig welche Werte die 
Koeffizienten A, v auch haben, 
ab = ba. 
Aus der Definition für die Gleichheit zweier komplexen Zahlen 
b, c und der des Produktes ergibt sich sofort, daß, falls b = c, auch 
ab = ac. 
Wenn 
a = a i e i -f- a 2 e 2 , b — ß 1 e x ß 2 e 2} c = y 1 e x -f- y 2 e 2 , 
so ist 
{a + b) c = ((a x + ß 1 )e 1 + {cc 2 + ß 2 )e 2 ) • (y 1 e 1 -f- y 2 e 2 ) 
= [(«i + 0i) Zi K + (K + ßt) 72 + (% + ßi) Zi) P1 + (« 2 + ßi) Tz v x\ e x 
+ [(«i + 0i) Zi h + ((«i + ßx) 72 + («2 + ßi) 7i)p2 + («2 + ßi) 72 Dil 6 2 
= i a x7xh + («iZ* + «2 3'lVl + <*2 72 V ll e X 
+ OiZi h + ( a iZ 2 + «aZi)/^ + «aZa*»]^ 
"I“ f0iZi^i d~ (0i Z2 d - 02Zi)i u i d~ 0272^xl^x 
+ [ßx7lh + (01 Za + 02 Z l) i^2 + 02 Z 2 ^2] ^2 
= ac 4- bc, 
d. h., es bleibt bei beliebigen Werten von A x , A 2 , // x , ft 2 , v x , v 2 auch 
das distributive Gesetz bestehen. 
Dm die Gültigkeit des assoziativen Gesetzes zu prüfen, bilden 
wir einerseits: 
{ab)c= [(^ 1 0 1 )(e 1 e 1 ) + (a i ß 2 + a 2 ß 1 )(e 1 e 2 ) + (cc 2 ß 2 ) (e 2 e 2 )] • (y 1 e 1 + y 2 e 2 ) 
~ ( a l01 Zl)( e i^i e i) d“ (®b 02 Zl d~ ^2 0i Zl)( e i e 2 e j) d“ (°-2 02 Zl) (^2 e 2 e i) 
+ («1 01Z2) ( e i ö 2 ) + (<X X 02 Z2 + «2 01 Za) d- (a2 0 2 Z2)( e 2 e 2 e 2>