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§ 2 B. Gültigkeit der Bechengesetze für das Produkt zweier komplexen Zahlen. 345 
und andrerseits: 
a(lc) = (hc)a 
~ [(ßlZl)Oi e i) d~ (ßl7%~\~ ß^ ZOOlO d” (/^2 5^2) ( e 2 ^2)] ’ Ol^l d“ a 2 e i) 
~ ( ci ißi7i)(. e i e i e i') d - Oißi72 d - cc iß27i)i e i e 2 € i) d - Oi/^2/^2)( e 2 e 2 e i) 
d" O2 ßl7l) Ol ß l e 2~) d - ( a 2 ßl ^2 d“ ßs7l) d - ( K 2 ßi 7%) O2 e 2 ^2) • 
Die Vergleichung der beiden rechten Seiten lehrt, daß sicher 
(ah)c = a(&c), 
falls 
( 6 i e i) e 2 ~ ( e i 6 2) e i 
und 
(f l e 2 ) e 2 — ( e 2 e 2) e i • 
Diese beiden Gleichungen sind aber auch notwendig; denn sie 
stellen, weil wegen des schon bewiesenen kommutativen Gesetzes 
Oi e s) e i = e i Oi e 2~) und O2 e 2) e i = e i O2 ^2); 
das assoziative Gesetz für die Einheiten dar, für die es natürlich auch 
gelten muß, wenn es für beliebige komplexe Zahlen bestehen soll. 
Es fragt sich jetzt, welche Folgerungen sich aus beiden Gleichungen 
für die Koeffizienten A, p,, v ergeben. Wir erhalten: 
0i e i; e 2 = Oi^i d~ dgßg)ßg ~ ^iOi^a) d~ d 2 OgCg) 
= Aj (ji i 6 1 -j- p 2 c 2 ) + d 2 (v i ß i -f- ^2^2) 
= (djgi d - ^2 v i)^i d - (^1^2 d“ dg^2)^2 
und in derselben Weise: 
Oi ^2) ®i == (di gi d - Pil l 2) e i d~ (gi d 2 -f- g2 2 ) e 2> 
Ol 6 ») 6 2 ~ Ol 2 d - g2 V l) e i d“ (gig2 d - ^2 V 2) e 2> 
(. e 2 e ü) e i ~ (di v i d~ gl^Ol d - (d2 V 1 d" 
Unsere beiden Gleichungen sind also dann und nur dann erfüllt, 
wenn gleichzeitig: 
dgi^i = giggj 
(V) djgg -f- AgVg = gi Ag d - g 2 2 , 
gi 2 + g2 V l = d x Vi + gjVg . 
Schreibt man die beiden letzten Relationen in der Form 
d2 (gl V 2) ~ g2 (dl ^2) 
(V a) und 
gi (gi — v 2 ) = v i(di g 2 ) ?