VII. Kapitel. Die komplexen Zahlen. 
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Die Bestimmung von ß x und ß 2 ist möglich, d. h., die Division 
c : a ist ausführbar dann und nur dann, wenn d 0. Wir haben d als 
Produkt zweier Faktoren dargestellt, von denen der zweite, co, gar 
nicht von dem Divisor a, sondern nur von den Multiplikations 
koeffizienten abhängt. Wählten wir k, lt, k", s, b so, daß co = 0, so 
würde die Division für keinen Divisor a ausführbar sein. Wir unter 
werfen deshalb von nun an die Zahlen k, k', k", s, s der Beschränkung 
(VIII) 
Aber auch wenn diese Bedingung erfüllt ist, kann es bei beliebiger 
Wahl von k, k', k" außer der Null noch unzählig viele Zahlen 
a — <x 1 e t a 2 e 2 
geben, durch welche sich nicht dividieren läßt, nämlich alle die, für 
welche 
k'ccß*— k" a 2 — ka x a 2 — 0. 
Die Theorie der quadratischen Gleichungen lehrt, daß diese Gleichung 
durch von Null verschiedene reelle Werte von cq, a 2 nicht befriedigt 
wird, wenn 
(IX) 
k 2 + U f k"<0. 
Legt man den Zahlen k, k', k" auch noch die Bedingung (IX) auf,, 
so darf man in unserem Gebiete komplexer Zahlen durch jede von 
Null verschiedene Zahl dividieren. 
Hat in der Divisionsaufgahe, von welcher wir ausgingen, der 
Dividend c insbesondere den Wert Null, d. h., suchen wir & so zu 
bestimmen, daß 
ah = 0 
so werden die Zähler von ß x und ß 2 gleich Null. Wenn nun d^O, 
d. h., wenn entweder k 2 + 4k'k" < 0 oder a doch zu den Zahlen ge 
hört, durch welche man dividieren darf, so ergehen sich für ß x und 
ß 2 nur die Werte ß x = 0, ß 2 =0. Wenn also das Produkt zweier 
komplexen Zahlen den Wert Null hat und der eine Faktor 
zu den Zahlen gehört, durch welche die Division möglich 
ist, so muß der andere gleich Null sein. 
Hieraus kann man sofort weiter schließen, daß, wenn a zu den 
Zahlen gehört, durch welche die Division erlaubt ist, aus 
ah = ac 
notwendig folgt 
h = c.