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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
{b Summanden) 
Buchstaben A bezeichnen und ihre Summe A -f A -) (- A schreiben. 
Da derartige Summen, in welchen die sämtlichen Summanden ein 
ander gleich sind, häufig Vorkommen, hat man für sie eine abgekürzte 
Schreibweise, nämlich Axi) oder A • h oder auch Ah und auch einen 
besonderen Namen, Produkt, eingeführt. 1 ) Den wiederholt zu setzenden 
Summanden A nennt man Multiplikand, die Anzahl h der Glieder 
der Summe Multiplikator 2 ), und die Rechenoperation, durch welche 
aus beiden das Produkt gebildet wird, heißt Multiplikation. 3 ) Die 
(b Summanden) 
der Menge A • h zukommende Zahl ist a + a + • • • -f a, wofür man 
in gleicher Weise a X h oder a • h setzt. Sind Multiplikand und 
Multiplikator bestimmte Zahlen, so ist ein Zeichen für die Multipli 
kation (entweder x oder •) nicht zu entbehren, weil man der bloßen 
Nebeneinanderstellung zweier bestimmten Zahlen eine andere Bedeutung 
(siehe § 10) gegeben hat. 
Der Multiplikand kann irgend eine Menge von Objekten, d. h. 
eine benannte Zahl, oder auch eine unbenannte Zahl sein; der Multi 
plikator ist seiner Natur nach stets ein Aggregat von lauter Einsen, 
also eine unbenannte Zahl. Wir beschäftigen uns nunmehr mit Pro 
dukten, in welchen sowohl der Multiplikand wie der Multiplikator 
unbenannte Zahlen sind. 4 ) 
1) Das Multiplikationskreuz stammt von Oughtred (Clavis mathematica, 
1631). Der Punkt wurde zuerst von Leibniz (1693) verwendet und ist dann 
durch die Lehrbücher Ohr. v. Wolffs das häufigste Multiplikationszeichen ge 
worden. Ygl. Cantor, Vorlesungen II, S. 721 und J. Tropfke, Gesch. d. Ele 
mentarmathematik I, S. 135—137. 
2) Man setzt auch den Multiplikator vor den Multiplikand; ein allgemein 
gültiges Übereinkommen über die Stellung beider gibt es nicht. 
3) Solange wir im Gebiete der eigentlich vorstellbaren Zahlen bleiben, 
handelt es sich hier nur um eine abgekürzte Bezeichnung, aber nicht um eine 
Abkürzung der Rechnung. Die in diesem und den folgenden Paragraphen abzu 
leitenden arithmetischen Gesetze werden uns erst gestatten, die eigentlich aus 
zuführende Summation für symbolisch vorgestellte Zahlen, z. B. die dekadischen, 
durch eine viel kürzere Rechnung zu ersetzen. (Vgl. § 10.) 
4) In neuerer Zeit hat Capelli (Sull’ ordine di precedenza fra le operazioni 
fondamentali dell’ Aritmetica, Napoli 1900, und Elementi di aritmetica ragionata 
e di algebra, Napoli 1902) das Produkt zweier Zahlen a, b als die Anzahl defi 
niert, welche derjenigen Menge zukommt, die man erhält, wenn man jedes 
Objekt einer Menge von der Anzahl a mit jedem Objekt einer Menge von der 
Anzahl b kombiniert. Capelli geht von dieser Definition aus, um aus gewissen, 
mir aber nicht triftig erscheinenden Gründen die Multiplikation unabhängig von 
der Addition und vor derselben behandeln zu können. Vorher (1895) hatte schon 
G. Cantor in der bereits zitierten Abhandlung „Beiträge zur Begründung der 
transfiniten Mengenlehre“ (Math. Ann. Bd. 46, S. 485) ganz ebenso die Multipli 
kation der Mächtigkeiten zweier Mengen definiert.