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VII. Kapitel. Die komplexen Zahlen. 
nur durch das Vorzeichen unterscheidenden Werte bei, für welche 
q = — 1 wird, d. h., bestimmen wir rj aus 
A — ii \ ^ 
(XIV a) während natürlich die beiden andern Multiplikationsformeln 
wieder lauten; 
ee = e, 
ei = ie = i. 
Weil die Gleichungen (V), S. 345, erfüllt sind, bleiben die Multiplikations 
gesetze sämtlich gültig. Aus (IX), S. 348, folgt schon, daß in dem jetzt 
betrachteten Systeme durch jede Zahl, außer durch Null dividiert 
werden kann. Um sich hiervon auch direkt zu überzeugen, bilde man: 
ah = (ae -f- cc'i) (ße + ß'i) = (aß — a'ß')e -f (aß' + a ß)i. 
Sucht man h so zu bestimmen, daß 
ah = c = ye -f y'i, 
so findet man durch eine leichte Rechnung die Werte 
welche nur dann illusorisch werden, wenn gleichzeitig 
a = 0, a' = 0. 
Da man in diesem System also durch jede Zahl außer durch 
Null dividieren darf, folgt nach dem Satze am Schlüsse von C, S. 348, 
daß ein Produkt nur dann verschwinden kann, wenn 
wenigstens einer seiner Faktoren gleich Null ist. 
Es bleibt noch die Frage der Existenz der Quadratwurzel aus 
einer beliebigen Zahl des Systems zu prüfen. Soll 
(U + r«) 2 = 
ae + a i 
sein, so müssen £, den Gleichungen 
£ 2 -r 2 =*, 
genügen, aus denen sich ergibt: 
£ 2 + | ' 2 =Ya 2 +a' 2 ,