§ 2 E. 3. Systeme komplexer Zahlen, für welche k~ ik'k" <fO. 357 
wo der Quadratwurzel der positive Wert beizulegen ist; also 
2| 2 = ]/ßP -f a' 2 -f a, 
2£' 2 = j/a 2 -f a' 2 - «. 
Da die rechten Seiten dieser Gleichungen für keine reellen Werte 
von a, a negativ werden, erhalten wir aus ihnen stets reelle Werte für 
d. h., es läßt sich aus jeder Zahl unseres Systems die 
Quadratwurzel ziehen. Z. B. erhalten wir für a— — 1, d= 0: 
= 0 
' = ±1 
also 
Y~ e — ± i 1 ). 
Da 
= (x — i) (x + i) 
und ein Produkt nur verschwinden kann, wenn wenigstens einer seiner 
Faktoren gleich Null ist, kann die Gleichung 
x 2 + e = 0 
keine andere Lösung haben als + i und — i. 
Daß sich aus jeder Zahl des Systems auch eine Wurzel mit be 
liebigem ganzzahligem Wurzelexponenten ziehen läßt, werden wir in 
§ 4 zeigen, ebenso die allgemeine Lösbarkeit der Aufgabe, zu einer 
beliebigen Zahl in bezug auf eine beliebige Basis den Logarithmus 
zu finden. Daß jede algebraische Gleichung, deren Koeffizienten Zahlen 
eines solchen Systems sind, auch wieder durch Zahlen des Systems 
befriedigt werden kann, ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der 
Algebra, welcher in Bd. II behandelt wird. 
Zusamm enfassung : 
Die in diesem § 2 angestellten Untersuchungen haben uns das 
Ergebnis geliefert, daß es drei Typen von Systemen komplexer Zahlen 
gibt, für welche die Multiplikationsgesetze sämtlich erhalten bleiben 
und auch die Division, wenigstens im allgemeinen, ausführbar ist. In 
jedem System der ersten durch Ungleichung (XII), S. 352, charak 
terisierten Gruppe gibt es zwei Einheiten e, für deren Multiplikation 
die Gleichungen (XII a) gelten. In jedem System der zweiten Gruppe 
(Gleichung (XIII), S. 354) gibt es zwei Einheiten e, i 0 , deren Produkte 
durch (XIII a), S. 355, dargestellt sind; endlich in jedem System der 
1) Diese Grleidmng erscheint hier nicht als Definition, ist vielmehr ein be 
wiesener Lehrsatz.