VII. Kapitel. Die komplexen Zahlen. 
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Mit den komplexen Zahlen a + a'i rechnen wir nun genau so wie 
mit den reellen Zahlen, setzen nur überall für i 2 den Wert— 1, also 
für i 2n den Wert (— l) n und für ¿ 2ra + 1 den Wert (— 1 ) n -i. 
Zwei komplexe Zahlen a + a'i und a— a'i, die sich nur durch 
das Vorzeichen ihres imaginären Bestandteiles unterscheiden, nennt 
man (nach Cauchy) „konjugiert komplex“ oder auch „kon 
jugiert imaginär“, ihr Produkt 
(a -f- a'i)(a — a'i) = a 2 -\- a' 2 
(nach Grauß) die „Norm“ von a -f- a'i und von a — a'i, den po 
sitiven Wert von ]/a 2 + a 2 (nach Weierstraß) den „absoluten 
Betrag“ jeder der beiden konjugiert komplexen Zahlen. Für a' = 0 
hat der absolute Betrag die Kap. IV, § 1 für reelle (positive oder 
negative) Zahlen angegebene Bedeutung. Auch den absoluten Betrag 
einer komplexen Zahl bezeichnet man (nach Weierstraß) durch einen 
vor und einen hinter die Zahl gesetzten senkrechten Strich. 
Für die absoluten Beträge komplexer Zahlen lassen sich leicht 
einige einfache Sätze beweisen. 
1. Satz: Der absolute Betrag der Summe zweier kom 
plexen Zahlen a = a -f a'i und 5 = ß + ß'i ist, wenn h = Tta, 
wo h irgend eine reelle positive Zahl (oder Null) bezeichnet, 
gleich der Summe der absoluten Beträge der Zahlen a, h, 
in allen übrigen Fällen aber kleiner als diese Summe. 
Beweis: Setzen wir: 
| a \ = pi, h | = p 2 und a -f- h \ = p, 
so wird 
6 — Qi 4" i ) 2 == V a2 4 _ a 2 -\- Vß 2 + ß' 2 , 
wo unter den Wurzeln natürlich die positiven Werte zu verstehen 
sind, also: 
<? 2 = a 2 + d' 2 + ß 2 + ß' 2 + 2y(a 2 + a' 2 )(ß 2 Tß 72 ), 
dagegen: 
P 2 = (« + ß) 2 + («' + ßj 2 = Ci 2j r Ci' 2 + ß 2 + ß' 2 + 2aß -f 2a'ß', 
deshalb: 
y(ö 2 — q 2 ) = Y(a 2 + a' 2 ){ß 2 + ß' 2 ) — (aß + a'ß'), 
oder: 
y (ö 2 — q 2 ) = Y(aß + a'ß') 2 + {aß' — a'ß) 2 — {aß + a'ß').