361 
§ 2 F. Sätze über den absoluten Betrag. 
Es sei zunächst 
aß' — a ß — 0 . 
Dann ist 
ß = ha, ß' = ka', 
wo k irgend eine reelle Zahl bezeichnet, und 
aß -f- a' ß' = k(a 2 -f a' 2 ). 
Wenn k > 0, ist auch die linke Seite der letzten Gleichung positiv 
und deshalb -^-(o 2 —0 2 ) = 0, also 
0 = Q. 
Wenn aber k < 0 und deshalb (aß + a ß') negativ ist, dann wird 
i-O 2 - p 2 ) = - k(a 2 + a' 2 ) - k(a 2 + a' 2 ) = - 2k (a 2 + a 2 ) >0; 
folglich 
Ist 
so wird stets 
also 
<? > p ■ 
aß' — aß 0, 
0> Q. 
Corollar: Durch wiederholte Anwendung des soeben bewiesenen 
Satzes findet man für beliebig viele komplexe Zahlen a t , a 2 , . . ., a n : 
| a ! + “k ■ ■ ■ + a n \ ^ i a i I + a 2 I ■ ’ ’ "k i a n I • 
Das Gleichheitszeichen gilt nur, wenn die n Zahlen aus einer von 
ihnen durch Multiplikation mit je einer positiven reellen Zahl hervor 
gehen. 
2. Satz: Der absolute Betrag der Differenz zweier kom 
plexen Zahlen a = a -f- a'i, b — ß -{■ ß'i ist, wenn b = ka, wo 
k irgend eine reelle positive Zahl (oder Null) bedeutet, 
gleich der Differenz der absoluten Beträge beider Zahlen, in 
allen übrigen Fällen aber größer als diese Differenz. 
Beweis: Setzen wir dieses Mal 
q = \ a — b | = ]/(a — ß) 2 4- («' — ß'f 
und unter der Voraussetzung 
d = Q t — q 2 = ]/a 2 + a' 2 — Yß 2 + ß' 2 ,