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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
Die durch Multiplikation zweier Zahlen gefundene Zahl können 
wir natürlich wieder mit einer dritten Zahl multiplizieren, aus den 
drei Zahlen a, b, c beispielsweise die Produkte bilden: 
(ah)c oder a(bc) oder (ac)b oder a(bc) usw. 
Es ist 
(e Teilsummen) 
(b Summanden) (ö Summanden) 
(üt • 6) • C = (a -j- (X -j- • • • -(- CI) -f- ' ‘ ' (<* ~\~ CI -f- • • • -f- a) 
(c Summanden) 
Die Summe auf der rechten Seite hat & + ••• + & = bc Sum 
manden. Da jeder Summand gleich a ist, kann sie a(bc) geschrieben 
werden. Damit ist also die Gleichung 
(II) {ab)c = a(bc), 
das Assoziationsgesetz für die Multiplikation, bewiesen. 
Die wiederholte Anwendung der beiden Formeln 
a - b = b ■ a und (ab) • c = a • (bc) 
ergibt zunächst die Gleichheit aller Produkte, die man aus drei Zahlen 
a, b, c bilden kann. Durch dasselbe Beweisverfahren aber, mit Hilfe 
dessen wir in § 3 B aus der Gültigkeit des Assoziationsgesetzes für 
drei Summanden die für beliebig viele und aus der Gültigkeit des 
Assoziationsgesetzes und der des Kommutationsgesetzes für zwei Sum 
manden die Richtigkeit des letzteren für beliebig viele gefolgert haben, 
können wir jetzt die Gültigkeit beider Gesetze auch für ein Produkt aus 
beliebig vielen Faktoren erschließen. In dem § 3 B gegebenen Beweise 
braucht man nur die Wörter „addieren“, „Summand“, „Summe“ überall 
durch „multiplizieren“ bezüglich „Faktor“ bezüglich „Produkt“ und das 
Additions- durch das Multiplikationszeichen zu ersetzen, während sonst 
der Text wörtlich derselbe bleibt. Die Anwendung beider Gesetze 
führt zu folgendem allgemeinen, dem § 3B für die Addition aus 
gesprochenen ganz analogen Satze: 
„Wenn man aus einer Reihe von n Zahlen a lf a 2 , . . . a n 
irgend zwei zu einem Produkte vereinigt und dieses Pro 
dukt statt der beiden Zahlen in die Reihe einsetzt, so ent 
steht eine Reihe von (n — 1) Zahlen. Faßt man auch aus 
dieser irgend zwei zu einem Produkte zusammen, so bleiben 
n — 2 übrig. Wenn man nun in gleicher Weise fortfährt, 
bis man statt der ursprünglichen Reihe nur noch eine ein 
zelne Zahl hat, so ist diese unabhängig von der Auswahl, 
die man bei den einzelnen Schritten getroffen hat; sie kann