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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
Nach der Definition des Produktes ist 
(c Teilsummen) 
(a + 6) • c — (a + &) + ••• + (et -f- h) 
(c Summanden) (c Summanden) 
(a + &) • c = (a + • • • + d) + (&+••• + 6) 
a) («+») • c = ac + bc. 
Die Gleichung (et + h)c — ac + bc enthält das distributive 1 ) Gesetz 
der Multiplikation. Sein Beweis ist unabhängig von den beiden 
anderen Gesetzen. 2 ) Ist das kommutative Gesetz nicht schon vorher 
bewiesen, so folgert man auch direkt aus der Definition des Produktes 
die Formel 
c*(a + 6) = c*a-j-c-&. 
Ferner läßt sich in ganz ähnlicher Weise (oder wenn man will, 
auch durch Anwendung des Schlusses von n auf n + 1) die all 
gemeinere Formel herleiten: 
(II) (^ + a 2 4 \-tt w )-c = a 1 c + a 2 c-f h a n c. 
Durch wiederholte Anwendung dieser Formel können wir auch 
das Produkt zweier Summen als eine Summe darstellen. 
Wenn vorgelegt ist das Produkt 
P = (% + % + a 3 + ‘ - * + ®n) (Pl + ^2 + ' ‘ ' + b m ) , 
so setze man zunächst 
\ + &2 + ‘" ’ + b m = P, 
so daß 
P = («! + a 2 -f a 3 + • • • -f- a^) • B. 
Nach (II) folgt hieraus: 
P — a^B a%B a$ B • -(- a n B 
= «1 (J>! + &2 4 f O + a 2 (pi + h 4 1“ O + a 3 04 + \ H H &»») + • * • 
+ a n (Pl + \ H f" & m) » 
also: 
jP = CL^ b^ -(- Ct^ &2 4" ' ' 
• + <*lK 
4 + a 2^2 4* • • 
• + a 2 b m 
(III) 
+ a ä\ 4" ft 3^2 4" ’ 
' ' + % 
+ 
+ a n\ + Uifi 2 + • 
' * + 
1) In bezug auf den Namen vgl. § 3 B, S. 9, Anm. 2. 
2) Aus dem distributiven Gesetz kann man leicht auch das assoziative und 
das kommutative herleiten. Vgl. Schröder, Lehrb. d. Arithm. u. Algebra, S. 91.