$ 5. Multiplikation. 
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üributive 1 ) Gesetz 
^on den beiden 
iht schon vorher 
Dn des Produktes 
wenn man will, 
n -j- 1) die all- 
\-a n c. 
cönnen wir auch 
len. 
+ K), 
V\~\ h& m ) + ' 
das assoziative und 
m. u. Algebra, S. 91. 
d. h. man multipliziert zwei Summen miteinander, indem 
man jeden Summanden der ersten mit jedem der zweiten 
multipliziert und die erhaltenen Produkte addiert. 
Ähnliche Formeln erhält man für die Multiplikation einer Differenz 
mit einer Zahl, mit einer Summe oder mit einer Differenz. Die 
Gleichung 
(IY) {a — b) • c = ac — bc 
läßt sich beweisen, indem man zeigt, daß, wenn zur linken Seite der 
Subtrahend der rechten addiert wird, sich der Minuend der rechten 
Seite ergibt. In der Tat ist 
(a — b) • c + bc = [(a — b) + b]c (nach (I)) 
= ac. 
Mittels (IY) und der Formeln (II) und (III) des § 4B beweist man 
sofort die Gleichungen 
(Y) {a — b) • (c + d) = ac -f ad — hc — hd 
und 
(YI) {a — b) ■ (c — d) — ac + bd — ad — hc. 
Bei (IY), (V), (YI) ist natürlich vorausgesetzt, daß in jeder vor 
kommenden Differenz der Minuend größer ist als der Subtrahend. 
Wenn 
D. Sätze über Ungleichungen. 
b > V, also 6 = &' + £, 
so ist 
(I) ab = a (b' -f z) == ab' -{- az > ab'. 
Ändert sich also in einem Produkte aus zwei Faktoren der Wert 
des einen Faktors, so ändert sich im selben Sinne auch der Wert 
des Produktes, woraus sich sofort der Satz ergibt: Wenn zwei Pro 
dukte aus je zwei Faktoren denselben Wert haben und ein 
Faktor des einen gleich einem Faktor des andern ist, so 
muß auch der zweite Faktor des ersten Produkts gleich dem 
zweiten Faktor des zweiten Produkts sein. 
Wenn 
a > a, also a — a + u, 
und 
so folgt: 
also: 
(H) 
b > b', also b = b'-\-z, 
& = («'-)- u) • (&'-f z) = ab' -f a z + b'u -f uz, 
a ■ b > a' • b'.