26 I- Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
Grundzahl oder Basis, die Anzahl b der Faktoren den Exponenten. 1 ) 
Das Zeichen a 1 , welches an sich keine Bedeutung hat, weil zu einem 
Produkte wenigstens zwei Faktoren gehören, soll die Zahl a selbst 
bedeuten. Nur bei dieser Festsetzung bleiben die Formeln dieses 
Paragraphen auch für den Exponenten 1 richtig. 
B. Formeln für das Potenzieren. 
Im Gegensätze zur Addition und zur Multiplikation gilt für be 
liebige Werte der Basis und des Exponenten weder das kommutative 
(a b nicht = b a ) noch das assoziative ({a b ) c nicht = a^) Gesetz. Dagegen 
ergeben sich aus der Definition der Potenz und den Formeln der 
§§ 5 und 6 sehr leicht die folgenden Formeln: 
(I) a m • a n = a m+n . 
(II) a m :a n = a m - n , 
vorausgesetzt, daß m > n . 
(III) ' a m • b m = (a • b) m . 
(IY) a m : b m = (<% : h) m , 
vorausgesetzt, daß a ein Vielfaches von b ist. 
(V) {a m ) n = {a n ) m = a m • 71 . 
In bezug auf das Setzen und Fortlassen von Klammern wollen wir 
noch bemerken, daß man unter Bezeichnung des Potenzierens und der 
(im nächsten Paragraphen zu besprechenden) inversen Rechnungen als 
Operationen dritter Stufe die § 5 C angegebene Konvention auch auf 
diese letzteren ausdehnt mit der einen Ausnahme, daß a b ° nicht be 
deuten soll (a b ) c (= a bc ), sondern a (hC \ 
1) Auch hier ist (analog wie in § 5) zu bemerken, daß mit der abgekürzten 
Bezeichnung noch keine Abkürzung der Rechnung gegeben ist. Um den Wert 
einer Potenz, z. B. 3 4 , wirklich zu berechnen, besitzt man vorläufig kein anderes 
Mittel, als zunächst auf die Bedeutung von 3 4 als das Produkt 3. 3. 3. 3. zurück 
zugehen, von dem Produkt auf die Summe 
[(3 —p 3 -f- 3) —|- (3 -{- 3 -f- 3) —(3 —1~ 3 —j— 3)] —{- [((3 —3 —|— 3) -f- (3 —|— 3 —}— 3) (3 -}— 3 -j— 3)] 
+ [(3 + 3 + 3) + (3-|-3-|-3) + (3 + 3 + 3)] . 
In dieser hat man dann noch jede 3 durch 1 —(— 1 —|- 1 zu ersetzen und die sämt 
lichen Einsen kollektiv zu einer Zahl zu vereinigen, eine Arbeit, die nur bei 
starker Idealisierung unserer geistigen Fähigkeiten wirklich ausführbar wäre. 
Wie sich die Rechnung für die symbolischen Zahlen leichter und kürzer gestaltet, 
werden wir § 10 sehen.