§ 7. Potenzieren. 
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in Exponenten. 1 ) 
.t, weil zu einem 
lie Zahl a selbst 
Formeln dieses 
C. Sätze Uber Ungleichungen. 
I. Wenn 
a > a, also a = a -f z, 
so ist auch 
a n > a n . 
.tion gilt für be- 
das kommutative 
Gresetz. Dagegen 
en Formeln der 
Diese Ungleichung ist sicher richtig für n — 1. Ihre Allgemeiu- 
gültigkeit wird also bewiesen sein (vgl. § 3B), falls es gelingt zu 
zeigen, daß wenn sie für n = v gilt, sie auch für n — v 1 erfüllt 
ist. Nun ist aber 
a v+1 = (a + s) v+1 = (a -f- z) v • (a -f s). 
Und da nach unserer Voraussetzung 
{a + z) v > a r , 
so folgt weiter (§ 5D, (I)) 
a v+1 > a v • (a + £), 
a v+1 > a' v+1 + a v • z, 
folglich 
a v+l > a 'v + l' 
nern wollen wir 
uzierens und der 
Rechnungen als 
ention auch auf 
Laß a bC nicht be- 
Wächst also die Basis, während der Exponent unge- 
ändert bleibt, so nimmt auch der Wert der Potenz zu. 1 ) 
II. Wenn 
n~> m, also n == m -j- u, 
so ist auch 
a n > a m , 
vorausgesetzt nur, daß a > 1; denn 
a n = 0 m + u = a m . a u m 
Nun ist aber, wenn 
ait der abgekürzten 
ist. Um den Wert 
däufig kein anderes 
it 3. 3. 3.3. zurück- 
a > 1, auch a u > 1, 
also 
a n >a m . 
Wächst also der Exponent, während die (von 1 ver 
schiedene) Basis dieselbe bleibt, so nimmt auch der Wert 
F 3) -}— (3 -j- 3 -{- 3)] 
HH- (3 + 3 + 3)]. 
der Potenz zu. 
III. Um die Abhängigkeit des Potenzwertes von dem Exponenten 
noch genauer zu untersuchen, setzen wir 
itzen und die sämt- 
Lrbeit, die nur bei 
i ausführbar wäre, 
nd kürzer gestaltet, 
a= 1+0; 
1) Dieser Satz ergibt sich natürlich auch sofort aus dem binomischen Lehr 
sätze, den wir an dieser Stelle aber noch nicht benutzen können.