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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
dann ist 
o? = 1 + 2z -f £ 2 , 
also 
a 2 > 1 + 20. 
Wir wollen zeigen, daß allgemein 
(1 + z) n > 1 + nz, 
wo n eine beliebige Zahl bedeutet, und bedienen uns zu diesem Zwecke 
der vollständigen Induktion (§ 3B, S. 10). Wenn schon bewiesen 
ist, daß 
(1 4- z) v > 1 + V8, 
so folgt durch Multiplikation mit 1 + z nach § 5 D, (1) 
(1 + 2) v+1 > (1 + V0) (1 + *) 
> 1 + (v + T)g + v£ 2 
>l+(v + l)xr. 
Die Ungleichung gilt also, sobald sie für den Exponenten v be 
wiesen ist, auch für den Exponenten v-f- 1, demnach, weil sie für 
den Exponenten 2 gültig ist, allgemein. 
D. Zusatz. Geometrische Keihen. 
Unter einer geometrischen Reihe versteht man eine in bestimmter 
Reihenfolge geordnete Menge von Zahlen, die in der Beziehung zu 
einander stehen, daß jede folgende aus der vorhergehenden durch 
Multiplikation mit einer und derselben Zahl e entsteht. Wenn also 
bei der gewählten Anordnung das erste Glied a t ist, so hat das 
folgende a 2 den Wert a x • e, das nächste a 3 den Wert a 2 • e = • e 2 
usw., endlich das n te den Wert a n = a n _ 1 • e = a t • e” -1 . Um die 
Summe 
s = a t -f a x e + + • • • + a 1 e n ~ 2 + a 1 e n ~ 1 
der n Glieder der geometrischen Reihe in geschlossener Form dar 
zustellen, bilde man 
s ■ e = a t e + « x e 2 + • * • + a x e n ~^ -f a x e n ~ x + a x e n . 
Durch Subtraktion ergibt sich 
s-(e—l ) = a 1 -(e n - 1), 
s = a x • (e n — 1) : (e — 1). 
Z. B. erhält man für = 1, e = 2 
¿=l-f-2 + 2 2 d h 2«" 2 -f 2"- 1 = (2 n — 1) : (2 — 1) 
also