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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
§ 10 A. 
tion der systematisch gebildeten symbolischen Zablformen einzugeben, 
welche die uns im eigentlichen Sinne nicht mehr vorstellbaren Zahlen 
vertreten, und das Rechnen mit ihnen zu erörtern. Da es nicht not 
wendig ist, als Grundzahl des Systems gerade die Zahl 10 zu wählen 
(vgl. S. 5, Anm. 1), lassen wir dieselbe zunächst unbestimmt und be 
zeichnen sie durch den Buchstaben g. Zur Abzählung irgend einer 
Menge von Dingen dienen uns alsdann die folgenden Zahlen: 
(I) 
1, 2, 3,. 
•(9~ 
-1), 
(II) 
9, %9, 3g,. 
•(9~ 
- 1 )9, 
(III) 
g 2 , %9 2 , 3g% . 
"(9~ 
~ 
(n + 1) 
f, V, 3g",. 
•(9~ 
i )g n - 
Wenn es uns also bei der Beschränktheit unseres Yorstellungs- 
vermögens tatsächlich nicht mehr möglich ist, die sämtlichen als 
„Einsen“ aufgefaßten Dinge einer Menge in unserem Bewußtsein zu 
einem Ganzen kollektivisch zu vereinigen, wie es der Begriff der Zahl 
eigentlich verlangt, so können wir doch die fragliche Zahl als Summe 
einer Zahl der Reihe I, einer Zahl der Reihe II usw. charakterisieren, 
wobei uns die eigentliche Bedeutung dieser Hilfszahlen nicht zum 
Bewußtsein zu kommen braucht, wir uns vielmehr häufig nur an die 
Zusammenstellung der Zeichen resp. Namen halten. Eine beliebige 
Zahl wird also repräsentiert durch eine Summe von der Form 
a n9 n + h «29 2 + a i9+ a o, 
d. h. eine Summe von Produkten, in denen der eine Faktor höchstens 
gleich (g — 1), der andere eine Potenz von g ist, und diese Dar 
stellung einer Zahl ist der exakte Ausdruck des Prinzips, nach welchem 
schon auf primitiver Kulturstufe die symbolischen Zahlen gebildet 
wurden. 1 ) Um alle Zahlen darstellen zu können, braucht man also 
nur Zeichen für die Zahlen von 1 bis (g — 1) (im dekadischen Sy 
stem für die Zahlen eins bis neun); ein Zeichen für die Grundzahl 
des Systems seihst ist zu entbehren, wenn man die Zahlen auf ein 
Rechenbrett („Abakus“) 2 ) einträgt, d. h. eine Tafel, welche in irgend 
1) Diese systematische Darstellung einer beliebigen Zahl ist die einfachste 
und natürlichste, aber allerdings nicht die einzig mögliche. Gl. Cantor hat in 
der Zeitschr. f. Math. u. Phys. 14 (1869), S. 121 gezeigt, daß sich jede Zahl in 
der Form cc,a, -f- a 2 + 1- cc v a v -j- cc v + 1 a v+1 -j •, und zwar nur auf eine 
Art darstellen läßt, wenn a,, a 2 , • • • a v , a r + 1 ,... irgend welche Zahlen sind, von 
denen jede durch die vorhergehende teilbar ist, und wenn cc v (für alle vorkom 
menden v) die Werte 0, 1, 2, • • •, — i annehmen darf. 
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2) Das Wort stammt von dem griechischen aßec^,, dessen Ursprung nicht 
völlig aufgeklärt ist. 
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