36 I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
System benutzten, bis allmählich die ersteren verdrängt wurden, und 
das indische System im 13. Jahrhundert wenigstens bei den Gelehrter^ 
den Sieg davon trug, während seine Verbreitung in Laienkreisen erst 
mit der zweiten Hälfte des 15. Jahrhunderts beginnt. 1 ) 
Ohne weiteres leuchtet ein, daß in jeder der Zeilen I, II usw. 
auf S. 34 die Zahlen sämtlich nach der Größe geordnet sind, in der 
ersten Zeile insbesondere jede Zahl um 1 größer ist als die vorher 
gehende. Schieben wir hinter jede Zahl der zweiten Zeile alle Zahlen 
ein, die aus ihr durch sukzessive Addition der Zahlen der Zeile I ent 
stehen, so ist auch in dieser Zeile jede Zahl um 1 größer als die 
vorhergehende und die erste um 1 größer als die letzte von I. Schieben 
wir ebenso hinter jede Zahl von III alle Zahlen ein, die aus ihr 
durch sukzessive Addition der Zahlen von I und der vervollständigten 
Zeile II entstehen, so gilt von ihr das Entsprechende. 
Wenn wir in derselben Weise beliebig weit fortfahren, so enthält 
die Gesamtheit der so konstruierten Zeilen bei der angegebenen Reihen 
folge eine Serie von Zahlen, die mit 1 beginnt, und von denen jede 
um 1 größer ist als die vorhergehende. Unser systematisches Bildungs 
prinzip liefert uns also genau dieselben Zahlen, zu denen man gelangt, 
wenn man, von der Zahl 1 ausgehend, neue durch fortgesetzte Hinzu 
fügung von 1 bildet, so daß also unsere systematischen Zahlen auch 
als Bezeichnungen für die Zahlen der sogenannten natürlichen Zahlen 
reihe angesehen werden können. 2 ) 
Wie der Begriff einer beliebigen Zahl mittelst der Operationen 
des Addierens, Multiplizierens und Potenzierens aus den Begriffen 
der Zahlen 1, 2, ... g entsteht, so setzt in derselben Weise auch die 
Sprache den Namen irgend einer Zahl aus den Namen für die Zahlen 
1, 2, ... g und für die Potenzen von g (bei den meisten Völkern ins 
besondere für g — zehn) zusammen. 3 ) Durch häufigen Gebrauch sind uns 
aber die fertigen Namen, und zwar in der den Zeilen (I), (II), (HI), . . . 
auf S. 34 entsprechenden Reihenfolge wenigstens innerhalb der praktisch 
vorkommenden Grenzen so geläufig geworden, daß wir uns zum Ab 
zählen einer Menge eines bequemeren Verfahrens bedienen, als zur 
Konstruktion des Zahlbegriffs eigentlich erforderlich wäre. Anstatt 
zu einem Dinge der Menge ein anderes hinzuzunehmen und zu sagen, 
1) Vgl. J. Tropfke, Gesch. d. Elementarmathem. I, S. 9—16. 
2) Vgl. Anm. 1, S. 5. v 
3) Während bei allen Völkern, wie zuerst Hankel (Zur Geschichte der 
Mathematik im Altertum und Mittelalter, S. 32) hervorgehoben hat, in der ge 
schriebenen additiv zusammengesetzten Zahl der größere Bestandteil stets dem 
kleineren (in der einmal üblichen Richtung der Schrift) vorangeht, werden in 
dem gesprochenen Zahlwort gerade bei uns im Deutschen (und auch im Sanskrit 
und im Arabischen) die Einer vor den Zehnern genannt.